Теоретико-множественные представления

Теоретико-множественные представления. Базируются на понятиях «множество», «элементы множества», «отношения на множествах».

Понятие «множество» относится к числу интуитивно постигаемых понятий, которым трудно дать определение. Это понятие содержательно эквивалентно понятиям «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «класс» И другим обобщающим понятиям.

Один из основоположников теории множеств Георг Кантор определял множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Множества могут задаваться следующими способами:

• списком, перечислекием (интенсионально); например,

%%{a_i}%%, где %%i=1%%, ..., %%n%%

или

%%<a_1, a_2, ..., a_i, ..., a_n>%%,

где %%a_i\in A%% ; %%\in%% — знак вхождения элементов в множество;

• путем указания некоторого характеристического свойства %%A%% (экстенсионально). Например, «множество натуральных чисел», «множество рабочих данного завода», «множество планет солнечной системы», «множество %%A%%» и т.д.

В основе теоретико-множественных преобразований лежит принцип перехода от одного способа задания множества к другому:

%%A=<a_1, a_2, ..., a_i, ..., a_n>%%

или

%%<a_1, a_2, ..., a_i, ..., a_n>→A.%%

Переход от интенсионального способа задания множества к экстенсиональному называют принципом свертывания. В множестве могут быть выделены подмножества. Вхождение элементов в любое множество или подмножество описывается знаком «принадлежит» — %%\in%%, а вхождение подмножества в множество описывается так: %%B\subset A%%.

Это означает, что все элементы подмножества %%B%% являются одновременно элементами множества %%A%% (рис. 2.6):

• %%b_1\in B%%	%%b_1\in A%%
  %%b_2\in B%%	%%b_2\in A%%
  ...	...	%%\Rightarrow%%	%%B\subset A%%
  %%b_n\in B%%	%%b_n\in A%%

• 

  Рис. 2.6

Важным понятием является понятие «пустого множества» — множества, в котором в данный момент нет ни одного элемента: %%D=\varnothing%%.

При использовании теоретико-множественных представлений в соответствии с концепцией Кантора можно вводить любые отношения. При уточнении этих отношений применительно к множествам удобно пользоваться наглядными диаграммами Эйлера — Венна. Примеры таких диаграмм для операции объединения %%(\cup)%%, пересечения %%(%%& или %%\cap)%%, дополнения (отрицания, обозначаемого знаком «—» над именем множества, либо знаком «%%\neg%%» перед именем множества или его элемента) приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Наименование	Диаграмма	Обозначение
Множество %%A%%		%%A%%
Дополнение %%C%% множества %%A%%		%%CA%% или %%\overline A,%% или %%\neg A%%
Множество %%B%%		%%B%%
Дополнение %%C%% множества %%B%%		%%CB%% или %%\overline B,%% или %%\neg B%%
Множество %%A%%, множество %%В%% и их дополнения %%C%%		%%A, B, CA, CB%%
Объединение %%A%% и %%B%%
Пересечение %%A%% и %%B%%
Пересечение множества %%A%% и дополнения множества %%B%%		%%A\cap CB%%
Дополнение объединения множества %%A%% и дополнения множества %%B%%		%%C(A \cup CD)%%

Теории, развивавшиеся на базе теоретико-множественных представлений, первоначально использовали отношения, подобные функциям алгебры логики, и в первую очередь — бинарной алгебры логикu Буля.

Особого внимания заслуживает преобразование множеств путем установления взаимоотношений между элементами разных исходных множеств.

Из двух или нескольких множеств можно сформировать путем установления отношений между элементами этих множеств новое множество. Это новое множество, как правило, следует рассматривать как множество, состоящее из принципиально новых элементов.

Важным понятием для освоения и использования теоретико-множественных представлений является понятие континуума (от лат. continuum — непрерывный) — связного обобщающего множества (т.е. как бы единого непрерывного пространства), в рамках которого осуществляются операции над множествами (их изъятие, добавление новых, объединение, пересечение и т.п.).

Использование теоретико-множественных представлений при моделировании систем позволяет организовать взаимодействие и взаимопонимание между специалистами различных областей знаний. С их помощью можно записать различные определения системы и выбрать из них то, которое в наибольшей степени отражает концепцию исследователей, проектировщиков.

Конкретная система при первоначальном описании может быть отображена теоретико-множественной формулой, включаюцей наборы различных элементов (например, %%A, B, C%%), отношений между ними %%(R)%%, которые также могут быть разделены на подмножества (%%R_1, R_2, R_3%% и т.д.), свойств элементов %%Q_A, Q_B, Q_C%% и свойств отношений %%Q_R%%. Могут быть учтены множества входных воздействий и выходных результатов %%Y%%: $$S=<A, B, C,R,Q_A,Q_B,Q_C,Q_R,X,Y>.$$

Затем, по мере накопления сведений о системе, теоретико-множественная формула может измениться и отразить взаимоотношения между группами множеств $$S=<\{x_i\} R_1 \{a_j\} R_2 \{b_k\} R_3 \{c_d\}>.$$

В дальнейшем описание может уточняться: могут быть введены подмножества и отношения между ними и их элементами; деление на подмножества может быть повторено неоднократно, и таким образом с помощью теоретико-множественных представлений возможно отображение многоуровневой структуры; отношения могут быть уточнены в виде набора правил преобразования множеств или подмножеств и т.п.

Как было сказано ранее, при использовании теоретико-множественных представлений в принципе можно вводить любые отношения. Однако при произвольных отношениях, в формализованном с их помощью описании проблемной ситуации, довольно быстро могут обнаружиться неразрешимые противоречия — парадоксы, апории или антиномии, что не позволяет оперировать с получаемыми теоретико-множественными моделями таким же образом, как с классическими математическими соотношениями, и быть уверенными в достоверности получаемых результатов.