Неберущиеся интегралы

Из основных правил дифференцирования следует, что производная произвольной элементарной функции вновь является функцией элементарной. Существенно, что операция нахождения первообразной таким свойством не обладает, т.е. сущеуствуют элементарные функции, первообразные которых не являются элементарными функциями. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции — неинтегрируемыми в конечном виде. Например, $$ \begin{array} \int e^{-x^2}\mathrm{d}x, \int \sin {x^2}\mathrm{d}x, \int \cos {x^2}\mathrm{d}x, \\ \int \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x, \int \frac{\cos x}{x} \mathrm{d}x, \int\frac{\mathrm{d}x}{\ln x} – \end{array} $$ «неберущиеся», т.е. не существует такой элементарной функции %%f(x)%%, что %%f'(x)%% равняется одной из перечисленной выше функций.

Все методы интегрирования, рассмотренные в данном разделе, применяемые для нахождения интегралов от элементарных функций, вновь приводят к элементарным функциям. Поэтому указанные «неберущиеся» интегралы не могут быть найдены с помощью методов данного раздела. Однако это не означает, что указанные интегралы не существуют и их невозможно найти.