Предел функции

Ограничимся изучением только действительных функций действительного переменного, которые будем называть просто функциями. При рассмотрении вопросов, связанных с пределом функции, используют понятие проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{\text{U}}(a) = \text{U}(a) \setminus \{a\}$ точки $a\in \mathbb{R}$ числовой прямой, т.е. окрестности $\text{U}(a)$ за исключением самой точки $a$. Аналогично для проколотой $\delta$-окрестности $$\stackrel{\circ}{\text{U}}(a, \delta) = \stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a) = \text{U}_\delta(a) \setminus \{a\} = \{x\in \mathbb{R}: 0 < |x - a| <\delta\}$$

Проколотые окрестности бесконечных точек $+\infty$, $-\infty$ и их объединения $\infty$ считают совпадающими с окрестностями этих точек.