Свойства функций, имеющих предел

Используя определение предела функции по Коши и по Гейне, перенесем некоторые свойства последовательностей на функции, имеющие предел в точке $a \in \overline{\mathbb{R}}$ расширенной числовой прямой.

Теорема об арифметических операциях со сходящимися последовательностями в сочетании с определением предела функции по Гейне позволяют установить для функций, имеющих в точке $a$ конечные пределы, следующие правила предельного перехода:

1. В линейной комбинации любого конечного числа $m$ функций $f_k(x), k = \overline{1, m}, m \in \mathbb{N}$, при $c_k \in \mathbb{R}$ при условии, что $\lim\limits_{x \to a}{f_k (x)} = b_k \in \mathbb{R}$ $$\lim\limits_{x \to a}{\sum^{m}_{k = 1}c_k f_k (x)} = \sum^{m}_{k=1} c_k b_k$$
2. В их произведении при условии, что $\lim\limits_{x \to a}{f_k (x)} = b_k \in \mathbb{R}$ $$\lim\limits_{x \to a}{\prod^{m}_{k = 1}c_k f_k (x)} = \prod^{m}_{k=1} c_k b_k$$
3. В частном двух функций $f(x)$ и $g(x)$, при условии, что предел делителя отличен от нуля,

$$\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{b}{c}, c \neq 0.$$

В силу того, что $\lim\limits_{x \to a}{x} = a$, получим $$\lim\limits_{x \to a}{x^m} = \left(\lim\limits_{x \to a}{x}\right)^m = a^m.$$

Тогда для многочлена

$$P_n (x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0, n \in \mathbb{N},$$ получим $$\lim\limits_{x \to a}{P_n (x)} = a_n a^n + a_{n-1} a^{n-1} + \ldots + a_0 = P_n (a),$$ а для рациональной функции получим $$\lim\limits_{x \to a}{\frac{P_n (x)}{Q_m (x)}} = \frac{\lim\limits_{x \to a}{P_n (x)}}{\lim\limits_{x \to a}{Q_m (x)}} = \frac{P_n (a)}{Q_m (a)}$$ при условии, что $Q_m (a) \ne 0$.

Зачастую вычисление пределов функций связано с простыми приемами: разложением числителя и знаменателя на сомножители, делением числителя и знаменателя на степень $x$ и т.д. Рассмотрим это на примерах.

Пример 1

Найти предел $\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 3x +2}.$

Нетрудно видеть, что непосредственная подстановка предельного значения $x =2$ в дробь под знаком предела приводит к неопределенности вида $\left[\frac{0}{0}\right]$. Разложим квадратные трехчлены числителя и знаменателя на сомножители и сократим общий сомножитель, после чего подставим предельное значение $x =2$:

$$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 3x +2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-1)} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x-3)}{(x-1)} = \frac{2-3}{2 -1} = -1.$$

Пример 2

Найти предел $\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x}{x^2 - 3x}.$

В задачах такого типа следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень $x$ (в данном случае это $x^2$) и затем применить теорему о переходе к пределу в числителе и знаменателе с последующим переходом к пределу слагаемых. Имеем:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x}{x^2 - 3x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1 - 5/x}{1 - 3/x} = \frac{\lim\limits_{x \to \infty}(1 - 5/x)}{\lim\limits_{x \to \infty}(1 - 3/x)} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1.$$

Пример 3

Найти предел $\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^3 + 5x}{x^4 - 3x}.$

Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на $x^4$. Имеем:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^3 + 5x}{x^4 - 3x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1/x + 5/{x^3}}{1 - 3/{x^3}} = \frac{0 + 0}{1 - 0} = 0.$$

Поясним решение неопределенности вида $\infty - \infty$. Рассмотрим характерный пример.

Пример 4

Найти предел $\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{x + 3} - \sqrt{x}).$

Здесь следует умножить и разделить выражение под знаком предела на сопряженное выражение (сопряженным для выражения $a -b$ называется выражение $a + b$), в нашем случае на $\sqrt{x + 3} + \sqrt{x}$. После чего воспользуемся делением числителя и знаменателя на старшую степень $x$. Имеем: $$\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{x + 3} - \sqrt{x}) = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x + 3 - x}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{x}} = \\ = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3 / \sqrt{x}}{\sqrt{(x + 3)/x} + \sqrt{x/x}} = \frac{0}{\sqrt{1 + 0} + 1} = 0. \end{array}$$