При определении предела функции %%f(x)%% в конечной точке %%a \in \mathbb{R}%% не было наложено никаких ограничений на закон изменения аргумента %%x \in \mathbb{R}%% при %%x \to a%% в пределах проколотой окрестности этой точки. Но точка %%a%% может не иметь проколотой окрестности в области %%D_f%% определения функции (например, для функции %%f(x) = \sqrt{x}%% точка %%x = 0%% в %%D_f = \{x \in \mathbb{R}: x \geq 0\})%%. Тогда изменение аргумента %%x%% при %%x \to a%% имеет смысл лишь в расположенной по одну сторону от точки а проколотой полуокрестности этой точки. Но даже в случае, когда функция определена в проколотой окрестности точки %%a%%, для анализа особенностей поведения функции при %%x \to a%% бывает целесообразно ограничить «свободу» изменения аргумента %%x%% одной из проколотых полуокрестностей этой точки. Такое ограничение приводит к понятию одностороннего предела.
Пусть область определения функции %%f(x)%% включает некоторую левую проколотую полуокрестность %%\stackrel{\circ}{\text{U}}_-(a) = (a - \delta, a), \delta > 0%% , конечной точки %%a \in \mathbb{R}%%.
Точку %%A \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой называют левосторонним пределом функции %%f(x)%% в точке %%a%% и пишут %%\lim\limits_{x \to a - 0}{f(x)} = A%% (или %%f(x) \to A%% при %%x \to a - 0%%), если вся последовательность значений аргумента %%x_n \to a%% располагается слева от точки %%a%%.
Очевидно, что данное определение можно конкретизировать для случаев, когда точка %%A%% конечна или не является таковой.
Аналогично определяют правосторонний предел функции в точке %%a%% и обозначают
$$ \lim\limits_{x \to a + 0}{f(x)} = A $$
Связь между существованием двустороннего и односторонних пределов функции в точке устанавливает следующая теорема.
Точка %%A \in \overline{\mathbb{R}}%% является двусторонним пределом функции %%f(x)%% в конечной точке %%a \in \mathbb{R}%% тогда и только тогда, когда %%A%% является и левым и правым пределами этой функции в точке %%a%%,
$$ \lim\limits_{x \to a + 0}{f(x)} = \lim\limits_{x \to a - 0}{f(x)} = A \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}{f(x)} = A $$
| Определение предела функции | Свойства функций, имеющих предел |