Односторонние пределы

При определении предела функции $f(x)$ в конечной точке $a \in \mathbb{R}$ не было наложено никаких ограничений на закон изменения аргумента $x \in \mathbb{R}$ при $x \to a$ в пределах проколотой окрестности этой точки. Но точка $a$ может не иметь проколотой окрестности в области $D_f$ определения функции (например, для функции $f(x) = \sqrt{x}$ точка $x = 0$ в $D_f = \{x \in \mathbb{R}: x \geq 0\})$. Тогда изменение аргумента $x$ при $x \to a$ имеет смысл лишь в расположенной по одну сторону от точки а проколотой полуокрестности этой точки. Но даже в случае, когда функция определена в проколотой окрестности точки $a$, для анализа особенностей поведения функции при $x \to a$ бывает целесообразно ограничить «свободу» изменения аргумента $x$ одной из проколотых полуокрестностей этой точки. Такое ограничение приводит к понятию одностороннего предела.

Пусть область определения функции $f(x)$ включает некоторую левую проколотую полуокрестность $\stackrel{\circ}{\text{U}}_-(a) = (a - \delta, a), \delta > 0$ , конечной точки $a \in \mathbb{R}$.

Левосторонний предел

Точку $A \in \overline{\mathbb{R}}$ расширенной числовой прямой называют левосторонним пределом функции $f(x)$ в точке $a$ и пишут $\lim\limits_{x \to a - 0}{f(x)} = A$ (или $f(x) \to A$ при $x \to a - 0$), если вся последовательность значений аргумента $x_n \to a$ располагается слева от точки $a$.

Очевидно, что данное определение можно конкретизировать для случаев, когда точка $A$ конечна или не является таковой.

Правосторонний предел

Аналогично определяют правосторонний предел функции в точке $a$ и обозначают

$$\lim\limits_{x \to a + 0}{f(x)} = A$$

Связь между существованием двустороннего и односторонних пределов функции в точке устанавливает следующая теорема.

Теорема

Точка $A \in \overline{\mathbb{R}}$ является двусторонним пределом функции $f(x)$ в конечной точке $a \in \mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда $A$ является и левым и правым пределами этой функции в точке $a$,

$$\lim\limits_{x \to a + 0}{f(x)} = \lim\limits_{x \to a - 0}{f(x)} = A \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}{f(x)} = A$$