При определении предела функции f(x) в конечной точке a∈R не было наложено никаких ограничений на закон изменения аргумента x∈R при x→a в пределах проколотой окрестности этой точки. Но точка a может не иметь проколотой окрестности в области Df определения функции (например, для функции f(x)=√x точка x=0 в Df={x∈R:x≥0}). Тогда изменение аргумента x при x→a имеет смысл лишь в расположенной по одну сторону от точки а проколотой полуокрестности этой точки. Но даже в случае, когда функция определена в проколотой окрестности точки a, для анализа особенностей поведения функции при x→a бывает целесообразно ограничить «свободу» изменения аргумента x одной из проколотых полуокрестностей этой точки. Такое ограничение приводит к понятию одностороннего предела.
Пусть область определения функции f(x) включает некоторую левую проколотую полуокрестность ∘U−(a)=(a−δ,a),δ>0 , конечной точки a∈R.
Точку A∈¯R расширенной числовой прямой называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a и пишут lim (или f(x) \to A при x \to a - 0), если вся последовательность значений аргумента x_n \to a располагается слева от точки a.
Очевидно, что данное определение можно конкретизировать для случаев, когда точка A конечна или не является таковой.
Аналогично определяют правосторонний предел функции в точке a и обозначают
\lim\limits_{x \to a + 0}{f(x)} = A
Связь между существованием двустороннего и односторонних пределов функции в точке устанавливает следующая теорема.
Точка A \in \overline{\mathbb{R}} является двусторонним пределом функции f(x) в конечной точке a \in \mathbb{R} тогда и только тогда, когда A является и левым и правым пределами этой функции в точке a,
\lim\limits_{x \to a + 0}{f(x)} = \lim\limits_{x \to a - 0}{f(x)} = A \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}{f(x)} = A
| Определение предела функции | Свойства функций, имеющих предел |