Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Рассмотренные свойства функций, имеющих предел в точке $a \in \overline{\mathbb{R}}$ расширенной числовой прямой, дают возможность проанализировать их поведение в окрестности этой точки. Но в ряде случаев этих свойств и установленных правил предельного перехода недостаточно. Так, классическим примером этого является поведение функции $(\sin x)/ x$ в окрестности точки $a = 0$.

Первым замечательным пределом называют предел $$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1.$$

Следствия первого замечательного предела.

1. $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin nx}{x}} = n$
2. $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\arctan x}{x}} = 1$
3. $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\text{tg} x}{x}} = 1$
4. $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\arcsin x}{x} = 1}$

Докажем некоторые из них.

1. Докажем первое следствие. $$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin nx}{x}} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{n \sin nx}{nx}} = [y = nx; y \to 0 \text{ при } x \to 0] = n \lim\limits_{y \to 0}{\frac{\sin y}{y}} = n.$$
2. Докажем третье следствие. $$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{ \text{tg} x}{x}} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x \cos x}} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x}} = \frac{\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}}}{\lim\limits_{x \to 0}{\cos x}} = \frac{1}{1} = 1.$$

Пример

Найти $\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1 - \cos x}{x^2}}.$

Теорему об арфиметических операциях применить нельзя, так как при $x \to 0$ знаменатель стремится к нулю. Для решения этой задачи необходимо преобразовать данную дробь, а затем выполнить предельный переход:

$$\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0}{\frac{1 - \cos x}{x^2}} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{2 \sin ^ 2 (x/2) }{ x^2 }} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2} = \\ \frac{1}{2}\lim\limits_{x \to 0}{\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)}\lim\limits_{x \to 0}{\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} . \end{array}$$

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называют предел $$\lim\limits_{x \to \infty}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} = e.$$

Следствия второго замечательного предела

1. $\lim\limits_{x \to 0}{\left(1 + x\right)^\frac{1}{x}} = e$
2. $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\ln(1 + x)}{x}} = 1$
3. $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^x - 1}{x}} = 1$
4. $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\log_a(1+x)}{x}} = \frac{1}{\ln a}$
5. $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{a^x - 1}{x}} = \ln a$

Докажем некоторые из них.

1. Докажем первое следствие. Заменим $y = 1 / x$, тогда $y \to \infty$ при $x \to 0$, получаем $$e = \lim\limits_{x \to \infty}{\left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = \lim\limits_{x \to 0}{(1 + x)^\frac{1}{x}}} = e.$$
2. Докажем второе следствие. $(1 + x)^{1/x} \to e$ при $x \to 0$ и $(1 + x)^{1/x} = e^{\ln (1+x)^{1/x}} = e^{\frac{\ln (1+x)}{x}}$. Тогда $\frac{\ln (1 + x)}{x} \to 1$ при $x \to 0$ (т.к. $e^{\frac{\ln (1+x)}{x}} \to e$). Следовательно, $$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\ln (x+1)}{x}} = 1.$$

Пример 1

Вычислить предел функции

$$f(x) = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 2}\right)^{x^2}$$ при $x\to \infty$.

Проведем тождественные преобразования $$\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 2}\right)^{x^2} = \frac{\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2}}{\left(1 - \frac{2}{x^2}\right)^{x^2}},$$ примем $y = 1/{x^2}, z = -2/{x^2}$, тогда $y \to 0, z \to 0$ при $x \to \infty$ и $x^2 = 1/y, x^2 = -2/z$, получаем $$\begin{array}{rll} \frac{\left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}}}{\left(1 + z\right)^{\frac{-2}{z}}} = \left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}} \left(1 + z\right)^{\frac{1}{z}}\left(1 + z\right)^{\frac{1}{z}}. \end{array}$$

В итоге получаем $$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x \to \infty}{\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 -2}\right)^{x^2}} & = \lim\limits_{y \to 0}\left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}} \lim\limits_{z \to 0}\left(1 + z\right)^{\frac{1}{z}}\lim\limits_{z \to 0}\left(1 + z\right)^{\frac{1}{z}} =\\ &=e \cdot e \cdot e = e^3. \end{array}$$

Пример 2

Найти $$\lim\limits_{x \to \infty} (1 + 4/x)^x.$$

Заменим переменную, приняв $x = 4y$. При $x \to \infty$ получим $y \to \infty$. Преобразовав, получаем:

$$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x \to \infty} (1 + 4/x)^x &= \lim\limits_{y \to \infty} (1 + 1/y)^{4y} = \\ &= \lim\limits_{y \to \infty} \left((1 + 1/y)^y\right)^4 = \\ &= \left(\lim\limits_{y \to \infty} (1 + 1/y)^y\right)^4 = e^4. \end{array}$$