Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Рассмотренные свойства функций, имеющих предел в точке %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой, дают возможность проанализировать их поведение в окрестности этой точки. Но в ряде случаев этих свойств и установленных правил предельного перехода недостаточно. Так, классическим примером этого является поведение функции %%(\sin x)/ x%% в окрестности точки %%a = 0%%.

Первым замечательным пределом называют предел $$ \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1. $$

Следствия первого замечательного предела.

1. %%\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin nx}{x}} = n%%
2. %%\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\arctan x}{x}} = 1%%
3. %%\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\text{tg} x}{x}} = 1%%
4. %%\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\arcsin x}{x} = 1}%%

Докажем некоторые из них.

1. Докажем первое следствие. $$ \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin nx}{x}} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{n \sin nx}{nx}} = [y = nx; y \to 0 \text{ при } x \to 0] = n \lim\limits_{y \to 0}{\frac{\sin y}{y}} = n. $$
2. Докажем третье следствие. $$ \lim\limits_{x \to 0}{\frac{ \text{tg} x}{x}} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x \cos x}} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x}} = \frac{\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}}}{\lim\limits_{x \to 0}{\cos x}} = \frac{1}{1} = 1. $$

Пример

Найти %%\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}{\frac{1 - \cos x}{x^2}}.%%

Теорему об арфиметических операциях применить нельзя, так как при %%x \to 0%% знаменатель стремится к нулю. Для решения этой задачи необходимо преобразовать данную дробь, а затем выполнить предельный переход:

$$ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0}{\frac{1 - \cos x}{x^2}} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{2 \sin ^ 2 (x/2) }{ x^2 }} = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2} = \\ \frac{1}{2}\lim\limits_{x \to 0}{\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)}\lim\limits_{x \to 0}{\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} . \end{array} $$

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называют предел $$ \lim\limits_{x \to \infty}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} = e. $$

Следствия второго замечательного предела

1. %%\lim\limits_{x \to 0}{\left(1 + x\right)^\frac{1}{x}} = e%%
2. %%\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\ln(1 + x)}{x}} = 1%%
3. %%\lim\limits_{x \to 0}{\frac{e^x - 1}{x}} = 1%%
4. %%\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\log_a(1+x)}{x}} = \frac{1}{\ln a}%%
5. %%\lim\limits_{x \to 0}{\frac{a^x - 1}{x}} = \ln a%%

Докажем некоторые из них.

1. Докажем первое следствие. Заменим %%y = 1 / x%%, тогда %%y \to \infty%% при %%x \to 0%%, получаем $$ e = \lim\limits_{x \to \infty}{\left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = \lim\limits_{x \to 0}{(1 + x)^\frac{1}{x}}} = e. $$
2. Докажем второе следствие. %%(1 + x)^{1/x} \to e%% при %%x \to 0%% и %%(1 + x)^{1/x} = e^{\ln (1+x)^{1/x}} = e^{\frac{\ln (1+x)}{x}}%%. Тогда %%\frac{\ln (1 + x)}{x} \to 1%% при %%x \to 0%% (т.к. %%e^{\frac{\ln (1+x)}{x}} \to e%%). Следовательно, $$ \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\ln (x+1)}{x}} = 1. $$

Пример 1

Вычислить предел функции

$$ f(x) = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 2}\right)^{x^2} $$ при %%x\to \infty%%.

Проведем тождественные преобразования $$ \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 2}\right)^{x^2} = \frac{\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{x^2}}{\left(1 - \frac{2}{x^2}\right)^{x^2}}, $$ примем %%y = 1/{x^2}, z = -2/{x^2}%%, тогда %%y \to 0, z \to 0%% при %%x \to \infty%% и %%x^2 = 1/y, x^2 = -2/z%%, получаем $$ \begin{array}{rll} \frac{\left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}}}{\left(1 + z\right)^{\frac{-2}{z}}} = \left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}} \left(1 + z\right)^{\frac{1}{z}}\left(1 + z\right)^{\frac{1}{z}}. \end{array} $$

В итоге получаем $$ \begin{array}{ll} \lim\limits_{x \to \infty}{\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 -2}\right)^{x^2}} & = \lim\limits_{y \to 0}\left(1 + y\right)^{\frac{1}{y}} \lim\limits_{z \to 0}\left(1 + z\right)^{\frac{1}{z}}\lim\limits_{z \to 0}\left(1 + z\right)^{\frac{1}{z}} =\\ &=e \cdot e \cdot e = e^3. \end{array} $$

Пример 2

Найти $$ \lim\limits_{x \to \infty} (1 + 4/x)^x. $$

Заменим переменную, приняв %%x = 4y%%. При %%x \to \infty%% получим %%y \to \infty%%. Преобразовав, получаем:

$$ \begin{array}{ll} \lim\limits_{x \to \infty} (1 + 4/x)^x &= \lim\limits_{y \to \infty} (1 + 1/y)^{4y} = \\ &= \lim\limits_{y \to \infty} \left((1 + 1/y)^y\right)^4 = \\ &= \left(\lim\limits_{y \to \infty} (1 + 1/y)^y\right)^4 = e^4. \end{array} $$