Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Функцию $f(x)$ называют бесконечно малой (б.м.) при $x \to a \in \overline{\mathbb{R}}$, если при этом стремлении аргумента предел функции равен нулю.

Понятие б.м. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о б.м. функции при $a \to a + 0$ и при $a \to a - 0$. Обычно б.м. функции обозначают первыми буквами греческого алфавита $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$

Примеры

1. Функция $f(x) = x$ является б.м. при $x \to 0$, поскольку ее предел в точке $a = 0$ равен нулю. Согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними эта функция — б.м. как при $x \to +0$, так и при $x \to -0$.
2. Функция $f(x) = 1/{x^2}$ — б.м. при $x \to \infty$ (а также при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$).

Отличное от нуля постоянное число, сколь бы оно ни было мало по абсолютному значению, не является б.м. функцией. Для постоянных чисел исключение составляет лишь нуль, поскольку функция $f(x) \equiv 0$ имеет нулевой предел.

Теорема

Функция $f(x)$ имеет в точке $a \in \overline{\mathbb{R}}$ расширенной числовой прямой конечный предел, равный числу $b$, тогда и только тогда, когда эта функция равна сумме этого числа $b$ и б.м. функции $\alpha(x)$ при $x \to a$, или $$\exists~\lim\limits_{x \to a}{f(x)} = b \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left( f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left( \lim\limits_{x \to a}{\alpha(x) = 0}\right).$$

Свойства бесконечно малых функций

По правилам предельного перехода при $c_k = 1~ \forall k = \overline{1, m}, m \in \mathbb{N}$, следуют утверждения:

1. Сумма конечного числа б.м. функций при $x \to a$ есть б.м. при $x \to a$.
2. Произведение любого числа б.м. функций при $x \to a$ есть б.м. при $x \to a$.

3. Произведение б.м. функций при $x \to a$ и функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)$ точки а, есть б.м. при $x \to a$ функция.

   Ясно, что произведение постоянной функции и б.м. при $x \to a$ есть б.м. функция при $x \to a$.

Эквивалентные бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции $\alpha(x), \beta(x)$ при $x \to a$ называются эквивалентными и пишутся $\alpha(x) \sim \beta(x)$, если

$$\lim\limits_{x \to a}{\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}} = \lim\limits_{x \to a}{\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}} = 1.$$

Теормема о замене б.м. функций эквивалентными

Пусть $\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)$ — б.м. функции при $x \to a$, причем $\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)$, тогда $$\lim\limits_{x \to a}{\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}} = \lim\limits_{x \to a}{\frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}}.$$

Эквивалентные б.м. функции.

Пусть $\alpha(x)$ — б.м. функция при $x \to a$, тогда

1. $\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)$
2. $\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac{\alpha^2(x)}{2}$
3. $\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)$
4. $\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)$
5. $\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)$
6. $\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)$
7. $\displaystyle\sqrt[n]{1 + \alpha(x)} - 1 \sim \frac{\alpha(x)}{n}$
8. $\displaystyle a^{\alpha(x)} - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)$

Пример

$$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x \to 0}{ \frac{\ln\cos x}{\sqrt[4]{1 + x^2} - 1}} & = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\ln(1 + (\cos x - 1))}{\frac{x^2}{4}}} = \\ & = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{4(\cos x - 1)}{x^2}} = \\ & = \lim\limits_{x \to 0}{-\frac{4 x^2}{2 x^2}} = -2 \end{array}$$

Бесконечно большие функции

Функцию $f(x)$ называют бесконечно большой (б.б.) при $x \to a \in \overline{\mathbb{R}}$, если при этом стремлении аргумента функция имеет бесконечный предел.

Подобно б.м. функциям понятие б.б. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о б.б. функции при $x \to a + 0$ и $x \to a - 0$. Термин “бесконечно большая” говорит не об абсолютном значении функции, а о характере его изменения в окрестности рассматриваемой точки. Никакое постоянное число, как бы велико оно ни было по абсолютному значению, не является бесконечно большим.

Примеры

1. Функция $f(x) = 1/x$ — б.б. при $x \to 0$.
2. Функция $f(x) = x$ — б.б. при $x \to \infty$.

---

Если выполнены условия определений $$\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to a}{f(x)} = +\infty, \\ \lim\limits_{x \to a}{f(x)} = -\infty, \end{array}$$

то говорят о положительной или отрицательной б.б. при $a$ функции.

Пример

Функция $1/{x^2}$ — положительная б.б. при $x \to 0$.

Связь между б.б. и б.м. функциями

Если $f(x)$ — б.б. при $x \to a$ функция, то $1/f(x)$ — б.м.

при $x \to a$. Если $\alpha(x)$ — б.м. при $x \to a$ функция, отличная от нуля в некоторой проколотой окрестности точки $a$, то $1/\alpha(x)$ — б.б. при $x \to a$.

Свойства бесконечно больших функций

Приведем несколько свойств б.б. функций. Эти свойства непосредственно следуют из определения б.б. функции и свойств функций, имеющих конечные пределы, а также из теоремы о связи между б.б. и б.м. функциями.

1. Произведение конечного числа б.б. функций при $x \to a$ есть б.б. функция при $x \to a$. Действительно, если $f_k(x), k = \overline{1, n}$ — б.б. функции при $x \to a$, то в некоторой проколотой окрестности точки $a$ $f_k(x) \ne 0$, и по теореме о связи б.б. и б.м. функций $1/f_k(x)$ — б.м. функция при $x \to a$. Получается $\displaystyle\prod^{n}_{k = 1} 1/f_k(x)$ — б.м функция при $x \to a$, а $\displaystyle\prod^{n}_{k = 1}f_k(x)$ — б.б. функция при $x \to a$.
2. Произведение б.б. функции при $x \to a$ и функции, которая в некоторой проколотой окрестности точки $a$ по абсолютному значению больше положительной постоянной, есть б.б. функция при $x \to a$. В частности, произведение б.б. функции при $x \to a$ и функции, имеющей в точке $a$ конечный ненулевой предел, будет б.б. функцией при $x \to a$.

3. Сумма ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки $a$ функции и б.б. функции при $x \to a$ есть б.б. функция при $x \to a$.

   Например, функции $x - \sin x$ и $x + \cos x$ — б.б. при $x \to \infty$.

4. Сумма двух б.б. функций при $x \to a$ есть неопределенность. В зависимости от знака слагаемых характер изменения такой суммы может быть самым различным.

   Пример

   Пусть даны функции $f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x$ — б.б. функции при $x \to \infty$. Тогда:

   • $f(x) + g(x) = 3x$ — б.б. функция при $x \to \infty$;
   • $f(x) + h(x) = 0$ — б.м. функция при $x \to \infty$;
   • $h(x) + v(x) = \sin x$ не имет предела при $x \to \infty$.