Определение предела функции

Рассмотрим функцию $f(x)$, определенную, по крайней мере, в некоторой проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)$ точки $a \in \overline{\mathbb{R}}$ расширенной числовой прямой.

Понятие предела по Коши

Число $A \in \mathbb{R}$ называют пределом функции $f(x)$ в точке $a \in \mathbb{R}$ (или при $x$, стремящемся к $a \in \mathbb{R}$), если, каково бы ни было положительное число $\varepsilon$, найдется положительное число $\delta$, такое, что для всех точек проколотой $\delta$-окрестности точки $a$ значения функции принадлежат $\varepsilon$-окрестности точки $A$, или

$$A = \lim\limits_{x \to a}{f(x)} \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text{U}_\varepsilon (A) \big)$$

Это определение называется определением на языке $\varepsilon$ и $\delta$, предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.

Комбинируя различные окрестности точки $a$ вида $\stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a), \text{U}_\delta (\infty), \text{U}_\delta (-\infty), \text{U}_\delta (+\infty), \text{U}_\delta^+ (a), \text{U}_\delta^- (a)$ с окрестностями $\text{U}_\varepsilon (A), \text{U}_\varepsilon (\infty), \text{U}_\varepsilon (+\infty), \text{U}_\varepsilon (-\infty)$, получим 24 определения предела по Коши.

Геометрический смысл

Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции $y = f(x)$ и отметим на нем точки $x = a$ и $y = A$.

Предел функции $y = f(x)$ в точке $x \to a$ существует и равен A, если для любой $\varepsilon$-окрестности точки $A$ можно указать такую $\delta$-окрестность точки $a$, что для любого $x$ из этой $\delta$-окрестности значение $f(x)$ будет находиться в $\varepsilon$-окрестности точки $A$.

Отметим, что по определению предела функции по Коши для существования предела при $x \to a$ не важно, какое значение принимает функция в самой точке $a$. Можно привести примеры, когда функция не определена при $x = a$ или принимает значение, отличное от $A$. Тем не менее предел может быть равен $A$.

Определение предела по Гейне

Элемент $A \in \overline{\mathbb{R}}$ называется пределом функции $f(x)$ при $x \to a, a \in \overline{\mathbb{R}}$, если для любой последовательности $\{x_n\} \to a$ из области определения, последовательность соответствующих значений $\big\{f(x_n)\big\}$ стремится к $A$.

Определение предела по Гейне удобно использовать, когда возникают сомнения в существовании предела функции в данной точке. Если можно построить хотя бы одну последовательность $\{x_n\}$ с пределом в точке $a$ такую, что последовательность $\big\{f(x_n)\big\}$ не имеет предела, то можно сделать вывод о том, что функция $f(x)$ не имеет предела в этой точке. Если для двух различных последовательностей $\{x'_n\}$ и $\{x''_n\}$, имеющих одинаковый предел $a$, последовательности $\big\{f(x'_n)\big\}$ и $\big\{f(x''_n)\big\}$ имеют различные пределы, то в этом случае также не существует предел функции $f(x)$.

Пример

Пусть $f(x) = \sin(1/x)$. Проверим, существует ли предел данной функции в точке $a = 0$.

Выберем сначала сходящуюся к этой точке последовательность $$\{x_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n\pi}\right\}.$$

Ясно, что $x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb{N}$ и $\lim {x_n} = 0$. Тогда $f(x_n) = \sin{\left((-1)^n n\pi\right)} \equiv 0$ и $\lim\big\{f(x_n)\big\} = 0$.

Затем возьмем сходящуюся к той же точке последовательность $$x'_n = \left\{ \frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\},$$

для которой $\lim{x'_n} = +0$, $f(x'_n) = \sin{\big((4n + 1)\pi/2\big)} \equiv 1$ и $\lim\big\{f(x'_n)\big\} = 1$. Аналогично для последовательности $$x''_n = \left\{-\frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\},$$

также сходящейся к точке $x = 0$, $\lim\big\{f(x''_n)\big\} = -1$.

Все три последовательности дали разные результаты, что противоречит условию определения по Гейне, т.е. данная функция не имеет предела в точке $x = 0$.

Теорема

Определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны.