Если функция %%y = f(x)%% имеет в точке %%a%% конечный предел %%b%% и не принимает значения %%b%% в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)%% этой точки, а функция %%g(y)%% имеет в точке %%b%% конечный предел %%c%%, то сложная функция %%g\big(f(x)\big)%% имеет предел в точке %%a%%, равный %%c%%.
Эту теорему нетрудно распространить на суперпозицию более двух функций. Она позволяет использовать замену переменных при вычислении пределов сложных функций по формуле $$ \lim\limits_{x \to a}{g\big(f(x)\big)} = \lim\limits_{y \to b}{g(y)}. $$ При этом говорят, что под знаком предела в левой части сделана замена %%f(x) = y%%. Данная теорема и возможность замены переменных остаются в силе, если хотя бы одна из точек %%a, b, c%% будет соответствовать одной из бесконечных точек %%+\infty%% или %%-\infty%% (или их объединению %%\infty%%) на расширенной числовой прямой.
Для нахождения предела функции %%\arctan(1/(1-x))%% при %%x \to 1 - 0%% сделаем замену %%y= 1 / (1 - x)%%. Тогда при %%x \to 1 - 0%% %%y \to +\infty%% получим $$ \lim\limits_{x \to 1-0}{\arctan\frac{1}{1 - x}} = \lim\limits_{y \to +\infty}{\arctan y} = \frac{\pi}{2}. $$
| Бесконечно малые и бесконечно большие функции | Замечательные пределы |