Предел сложной функции

Теорема

Если функция $y = f(x)$ имеет в точке $a$ конечный предел $b$ и не принимает значения $b$ в некоторой проколотой окрестности $\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)$ этой точки, а функция $g(y)$ имеет в точке $b$ конечный предел $c$, то сложная функция $g\big(f(x)\big)$ имеет предел в точке $a$, равный $c$.

Эту теорему нетрудно распространить на суперпозицию более двух функций. Она позволяет использовать замену переменных при вычислении пределов сложных функций по формуле $$\lim\limits_{x \to a}{g\big(f(x)\big)} = \lim\limits_{y \to b}{g(y)}.$$ При этом говорят, что под знаком предела в левой части сделана замена $f(x) = y$. Данная теорема и возможность замены переменных остаются в силе, если хотя бы одна из точек $a, b, c$ будет соответствовать одной из бесконечных точек $+\infty$ или $-\infty$ (или их объединению $\infty$) на расширенной числовой прямой.

Пример

Для нахождения предела функции $\arctan(1/(1-x))$ при $x \to 1 - 0$ сделаем замену $y= 1 / (1 - x)$. Тогда при $x \to 1 - 0$ $y \to +\infty$ получим $$\lim\limits_{x \to 1-0}{\arctan\frac{1}{1 - x}} = \lim\limits_{y \to +\infty}{\arctan y} = \frac{\pi}{2}.$$