Метод интегрирования по частям

Пусть функции %%u(x)%% и %%v(x)%% — дифференцируемые в промежутке %%X%%. По свойству дифференциала $$ \mathrm{d}(uv) = u~\mathrm{d}v + v~\mathrm{d}u $$ или $$ u~\mathrm{d}v = \mathrm{d}(uv) - v~\mathrm{d}u. $$

Интегрируя обе части последнего равества, получаем $$ \int u~\mathrm{d}v = uv - \int v~\mathrm{d}u. $$

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя %%u%% и %%\mathrm{d}v%%. При переходе к правой части первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала %%\mathrm{d}u = u'\mathrm{d}x%%), второй интегрируется (%%v = \int \mathrm{d}v%%). Возможности применения данной формулы связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит второй).

Примеры

1. Найдем интеграл %%\int x e^x \mathrm{d}x%%.

   Пусть %%u= x, \mathrm{d}v = e^x \mathrm{d}x%%, тогда %%\mathrm{d}u = \mathrm{d}x%%, а %%v = \int e^x \mathrm{d}x = e^x%%. Константу %%C%% лучше принять за %%0%% в данном случае, чтобы дальнейшие вычисления не были более громоздкими. Тогда $$ \int x e^x \mathrm{d}x = x e^x - \int e^x \mathrm{d}x = x e^x - e^x + C. $$

2. Найдем %%\int x \ln x \mathrm{d}x%%.

   Препятствием к нахождению данного интеграла является присутсвие сомножителя %%\ln x%%. Пусть %% u = \ln x, \mathrm{d}u = \mathrm{d}x/u%%. Тогда %%\mathrm{d}v = x \mathrm{d}x, v = \int \mathrm{d}v = \int x \mathrm{d}x = x^2/2%%, опять же константу %%C%% опускаем, т.к. она не влияет на нахождение интеграла. Тогда, используя формулу интегрирования по частям, получаем $$ \begin{array}{l} \int x \ln x \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \frac{\mathrm{d}x}{x} = \\ = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C. \end{array} $$

3. Найдем %%\int x^2 \sin x \mathrm{d}x%%.

   Примем %%u = x^2, \mathrm{d}u = 2x \mathrm{d}x%%, тогда %%\mathrm{d}v = \sin x \mathrm{d}x, v = \int \mathrm{d}v = -\cos x%%. Тогда $$ \int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2\cos x + 2\int x \cos x \mathrm{d}x. $$ Полученный интеграл %%\int x \cos x \mathrm{d}x%% не является табличным, однако видно, что его степень понизилась на %%1%% по сравнению с исходным интегралом. Проинтегрируем по частям получившийся интеграл. Пусть %%u = x, \mathrm{d}u = \mathrm{d}x%%, тогда %%\mathrm{d}v = \cos x \mathrm{d}x, v = \sin x%%. Получаем $$ \begin{array}{ll} \int x^2 \sin x \mathrm{d}x &= -x^2\cos x + 2\left(x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x\right) = \\ &= -x^2\cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C. \end{array} $$

---

Анализируя примеры, можно указать следующие типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

1. %%\displaystyle \int x^n e^{ax} \mathrm{d}x%%.
2. %%\displaystyle \int x^n \sin {mx} \mathrm{d}x%%.
3. %%\displaystyle \int x^n \cos {mx} \mathrm{d}x%%.
4. %%\displaystyle \int x^k \ln^m x \mathrm{d}x%%.
5. %%\displaystyle \int x^k \arcsin x \mathrm{d}x%%.
6. %%\displaystyle \int x^k \arccos x \mathrm{d}x%%.
7. %%\displaystyle \int x^k \text{arctg}~x \mathrm{d}x%%.
8. %%\displaystyle \int x^k \text{arcctg}~x \mathrm{d}x%%.

Где %%a, m, k \in \mathbb{R}, k \neq -1, n \in \mathbb{N}%%.