Метод интегрирования по частям

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые в промежутке $X$. По свойству дифференциала $$\mathrm{d}(uv) = u~\mathrm{d}v + v~\mathrm{d}u$$ или $$u~\mathrm{d}v = \mathrm{d}(uv) - v~\mathrm{d}u.$$

Интегрируя обе части последнего равества, получаем $$\int u~\mathrm{d}v = uv - \int v~\mathrm{d}u.$$

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя $u$ и $\mathrm{d}v$. При переходе к правой части первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала $\mathrm{d}u = u'\mathrm{d}x$), второй интегрируется ($v = \int \mathrm{d}v$). Возможности применения данной формулы связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит второй).

Примеры

1. Найдем интеграл $\int x e^x \mathrm{d}x$.

   Пусть $u= x, \mathrm{d}v = e^x \mathrm{d}x$, тогда $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$, а $v = \int e^x \mathrm{d}x = e^x$. Константу $C$ лучше принять за $0$ в данном случае, чтобы дальнейшие вычисления не были более громоздкими. Тогда $$\int x e^x \mathrm{d}x = x e^x - \int e^x \mathrm{d}x = x e^x - e^x + C.$$

2. Найдем $\int x \ln x \mathrm{d}x$.

   Препятствием к нахождению данного интеграла является присутсвие сомножителя $\ln x$. Пусть $u = \ln x, \mathrm{d}u = \mathrm{d}x/u$. Тогда $\mathrm{d}v = x \mathrm{d}x, v = \int \mathrm{d}v = \int x \mathrm{d}x = x^2/2$, опять же константу $C$ опускаем, т.к. она не влияет на нахождение интеграла. Тогда, используя формулу интегрирования по частям, получаем $$\begin{array}{l} \int x \ln x \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \frac{\mathrm{d}x}{x} = \\ = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C. \end{array}$$

3. Найдем $\int x^2 \sin x \mathrm{d}x$.

   Примем $u = x^2, \mathrm{d}u = 2x \mathrm{d}x$, тогда $\mathrm{d}v = \sin x \mathrm{d}x, v = \int \mathrm{d}v = -\cos x$. Тогда $$\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2\cos x + 2\int x \cos x \mathrm{d}x.$$ Полученный интеграл $\int x \cos x \mathrm{d}x$ не является табличным, однако видно, что его степень понизилась на $1$ по сравнению с исходным интегралом. Проинтегрируем по частям получившийся интеграл. Пусть $u = x, \mathrm{d}u = \mathrm{d}x$, тогда $\mathrm{d}v = \cos x \mathrm{d}x, v = \sin x$. Получаем $$\begin{array}{ll} \int x^2 \sin x \mathrm{d}x &= -x^2\cos x + 2\left(x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x\right) = \\ &= -x^2\cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C. \end{array}$$

Анализируя примеры, можно указать следующие типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

1. $\displaystyle \int x^n e^{ax} \mathrm{d}x$.
2. $\displaystyle \int x^n \sin {mx} \mathrm{d}x$.
3. $\displaystyle \int x^n \cos {mx} \mathrm{d}x$.
4. $\displaystyle \int x^k \ln^m x \mathrm{d}x$.
5. $\displaystyle \int x^k \arcsin x \mathrm{d}x$.
6. $\displaystyle \int x^k \arccos x \mathrm{d}x$.
7. $\displaystyle \int x^k \text{arctg}~x \mathrm{d}x$.
8. $\displaystyle \int x^k \text{arcctg}~x \mathrm{d}x$.

Где $a, m, k \in \mathbb{R}, k \neq -1, n \in \mathbb{N}$.