Свойства неопределенного интеграла

Пусть для функции $f(x)$, определенной в некотором промежутке $X$, в этом промежутке существует первообразная $F(x)$ и неопределенный интеграл. Нахождение неопределенного интеграла от заданной функции называют ее интегрированием. Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. $$\left(\int f(x) \mathrm{d}x\right)' = \big(F(x) + C\big)' = f(x).$$
2. Так как для функции $F'(x) = f(x)$ одной из первообразных является сама функция $F(x)$, то $$\int F'(x) \mathrm{d}x = \int \mathrm{d}F(x) = F(x) + C.$$ Таким образом, интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, т.е. $$\int C f(x) \mathrm{d}x = C \int f(x) \mathrm{d}x, C = \mathrm{const} \neq 0.$$
4. Интегрирование является линейной операцией, т.е. $$\int \sum_{i \in I} {C_i f_i(x) \mathrm{d}x} = \sum_{i \in I} {C_i \int f_i(x) \mathrm{d}x}.$$
5. Пусть $y = f\big(u(x) \big)$ — сложная функция, и функции $f(u)$ и $u(x)$ дифференцируемы, тогда $$\int f\big(u(x)\big) \mathrm{d}u(x) = F\big(u(x)\big) + C,$$ т.е. неопределенный интеграл инвариантен.