Свойства неопределенного интеграла

Пусть для функции %%f(x)%%, определенной в некотором промежутке %%X%%, в этом промежутке существует первообразная %%F(x)%% и неопределенный интеграл. Нахождение неопределенного интеграла от заданной функции называют ее интегрированием. Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. $$ \left(\int f(x) \mathrm{d}x\right)' = \big(F(x) + C\big)' = f(x). $$
2. Так как для функции %%F'(x) = f(x)%% одной из первообразных является сама функция %%F(x)%%, то $$ \int F'(x) \mathrm{d}x = \int \mathrm{d}F(x) = F(x) + C. $$ Таким образом, интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, т.е. $$ \int C f(x) \mathrm{d}x = C \int f(x) \mathrm{d}x, C = \mathrm{const} \neq 0. $$
4. Интегрирование является линейной операцией, т.е. $$ \int \sum_{i \in I} {C_i f_i(x) \mathrm{d}x} = \sum_{i \in I} {C_i \int f_i(x) \mathrm{d}x}. $$
5. Пусть %%y = f\big(u(x) \big)%% — сложная функция, и функции %%f(u)%% и %%u(x)%% дифференцируемы, тогда $$ \int f\big(u(x)\big) \mathrm{d}u(x) = F\big(u(x)\big) + C, $$ т.е. неопределенный интеграл инвариантен.