Интегрирование простейших рациональных дробей

Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида $$f(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)},$$ в общем случае являющиеся отношением двух многочленов $P_n(x)$ и $Q_m(x)$.

Если $m > n \geq 0$, то рациональную дробь называют правильной, в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов, неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена $P_{n - m}$ степени $n - m$ и некоторой правильной дроби, т.е. $$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P_{n-m}(x) + \frac{P_l(x)}{Q_n(x)},$$ где степень $l$ многочлена $P_l(x)$ меньше степени $n$ многочлена $Q_n(x)$.

Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной функции можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.

Интегралы от простейших рациональных дробей

Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям:

1. $\displaystyle \frac{A}{x - a}$,
2. $\displaystyle \frac{A}{(x - a)^k}$,
3. $\displaystyle \frac{Ax + B}{x^2 + px + q}$,
4. $\displaystyle \frac{Ax + B}{(x^2 + px + q)^k}$,

где $k > 1$ — целое и $p^2 - 4q < 0$, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов

Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов не вызывает затруднений: $$\begin{array}{ll} \int \frac{A}{x - a} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{x - a} = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac{A}{(x - a)^k} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{(x - a)^k} = A \frac{(x-a)^{-k + 1}}{-k + 1} + C = \\ &= -\frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C. \end{array}$$

Вычисление неопределенного интегралов от дробей третьего типа

Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе: $$\frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4},$$ так как $p^2 - 4q < 0$, то $q - p^2/4 > 0$, которое обозначим как $a^2$. Заменив также $t = x + p/2, \mathrm{d}t = \mathrm{d}x$, преобразуем знаменатель и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме $$\begin{array}{ll} \int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x &= \int \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4} \mathrm{d}x = \\ &= \int \frac{A(t - p/2) + B}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t = \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t. \end{array}$$

Последний интеграл, используя линейность неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них введем $t$ под знак дифференциала: $$\begin{array}{ll} \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t &= A\int \frac{t \mathrm{d}t}{t^2 + a^2} + \left(B - \frac{pA}{2}\right)\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(t^2 + a^2\right)}{t^2 + a^2} + - \frac{2B - pA}{2}\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \ln \left| t^2 + a^2\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{t}{a} + C. \end{array}$$

Возвращаясь к исходной переменной $x$, в итоге для дроби третьего типа получаем $$\int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x = \frac{A}{2} \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{x + p/2}{a} + C,$$ где $a^2 = q - p^2 / 4 > 0$.

Вычисление интеграла 4 типа сложно, поэтому в этом курсе не рассматривается.