Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида %%\int R(\sin x, \cos x) \mathrm{d}x%%. Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой %%t = \text{tg}\frac{x}{2}%%, где %%-\pi < x < \pi%%.

Действительно, $$ \begin{array}{l} \sin x = \frac{ \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + \text{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{2t}{1 + t^2}, \\ \cos x = \frac{1 - \text{tg}^2\frac{x}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ x = 2\text{arctg}t, \mathrm{d}x = \frac{2\mathrm{d}t}{1 + t^2}. \end{array} $$ Тогда $$ \int R(\sin x, \cos x) \mathrm{d}x = \int R\left(\frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\right) \frac{2 \mathrm{d}t}{1 + t^2}. $$

Пример 1

Найти %%\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin x}%%.

Примем %%t = \text{tg} \frac{x}{2}%%. Тогда, используя выражения через %%t%% для %%\mathrm{d}x%% и %%\sin x%%, указанные выше, получим $$ \int \frac{\left(1 + t^2\right)2 \mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)2t} = \int \frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln |t| +C = \ln \left | \text{tg} \frac{x}{2}\right| + C. $$

---

Если функция %%R(u,v)%% обладает свойствами четности или нечетности по переменным %%u%% или %%v%%, то для рационализации интеграла могут быть использованы также и другие подстановки.

Так, если %%R(u,v)%% — дробь, числитель и знаменатель которой многочлены по переменным %%u%% и %%v%% и %%R(-u, v) = -R(u,v)%%, то рационализация интеграла %%R(\sin x, \cos x) \mathrm{d}x%% достигается путем замены переменной %%t = \cos x%%.

Пример 2

Найти %%\displaystyle\int \dfrac{\sin^3 x}{\cos^4 x}\mathrm{d}x%%.

В данном случае %%R(u,v) = u^3/v^4%%, поэтому %%R(-u,v) = (-u)^3/v^4 = -R(u,v)%%. Примем %%t = \cos x%%, %%\mathrm{d}t = -\sin x \mathrm{d}x%%. Учитывая, что %%\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - t^2%%, получаем $$ \begin{array} \int \frac{\sin^3 x}{\cos^4 x}\mathrm{d}x = -\int \frac{1-t^2}{t^4}\mathrm{d}t = \int \frac{t^2 - 1}{t^4}dt = \\ = \int t^{-2} \mathrm{d}t - \int t^{-4} \mathrm{d}t = t^{-3}/3 - t^{-1} + C = \\ = \frac{1}{3\cos^{3} x} - \frac{1}{\cos^{1} x} + C. \end{array} $$

Пример 3

Найти %%\int \sin^2 x \cos^3 x \mathrm{d}x%%

В данном случае воспользуемся подстановкой %%t = \sin x%%, %%\mathrm{d}t = \cos x \mathrm{d}x%%. Тогда $$ \begin{array}{l} \int \sin^2 x \cos^3 x \mathrm{d}x = \int t^2 (1 - t^2) \mathrm{d}t = \\ = \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} + C = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C. \end{array} $$