Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида $\int R(\sin x, \cos x) \mathrm{d}x$. Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой $t = \text{tg}\frac{x}{2}$, где $-\pi < x < \pi$.

Действительно, $$\begin{array}{l} \sin x = \frac{ \text{tg} \frac{x}{2}}{1 + \text{tg}^2\frac{x}{2}} = \frac{2t}{1 + t^2}, \\ \cos x = \frac{1 - \text{tg}^2\frac{x}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\ x = 2\text{arctg}t, \mathrm{d}x = \frac{2\mathrm{d}t}{1 + t^2}. \end{array}$$ Тогда $$\int R(\sin x, \cos x) \mathrm{d}x = \int R\left(\frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\right) \frac{2 \mathrm{d}t}{1 + t^2}.$$

Пример 1

Найти $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin x}$.

Примем $t = \text{tg} \frac{x}{2}$. Тогда, используя выражения через $t$ для $\mathrm{d}x$ и $\sin x$, указанные выше, получим $$\int \frac{\left(1 + t^2\right)2 \mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)2t} = \int \frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln |t| +C = \ln \left | \text{tg} \frac{x}{2}\right| + C.$$

Если функция $R(u,v)$ обладает свойствами четности или нечетности по переменным $u$ или $v$, то для рационализации интеграла могут быть использованы также и другие подстановки.

Так, если $R(u,v)$ — дробь, числитель и знаменатель которой многочлены по переменным $u$ и $v$ и $R(-u, v) = -R(u,v)$, то рационализация интеграла $R(\sin x, \cos x) \mathrm{d}x$ достигается путем замены переменной $t = \cos x$.

Пример 2

Найти $\displaystyle\int \dfrac{\sin^3 x}{\cos^4 x}\mathrm{d}x$.

В данном случае $R(u,v) = u^3/v^4$, поэтому $R(-u,v) = (-u)^3/v^4 = -R(u,v)$. Примем $t = \cos x$, $\mathrm{d}t = -\sin x \mathrm{d}x$. Учитывая, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - t^2$, получаем $$\begin{array} \int \frac{\sin^3 x}{\cos^4 x}\mathrm{d}x = -\int \frac{1-t^2}{t^4}\mathrm{d}t = \int \frac{t^2 - 1}{t^4}dt = \\ = \int t^{-2} \mathrm{d}t - \int t^{-4} \mathrm{d}t = t^{-3}/3 - t^{-1} + C = \\ = \frac{1}{3\cos^{3} x} - \frac{1}{\cos^{1} x} + C. \end{array}$$

Пример 3

Найти $\int \sin^2 x \cos^3 x \mathrm{d}x$

В данном случае воспользуемся подстановкой $t = \sin x$, $\mathrm{d}t = \cos x \mathrm{d}x$. Тогда $$\begin{array}{l} \int \sin^2 x \cos^3 x \mathrm{d}x = \int t^2 (1 - t^2) \mathrm{d}t = \\ = \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} + C = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C. \end{array}$$