Интегрирование рациональных дробей
Алгоритм
Интегрирование любой дробно-рациональной функции состоит из следующих этапов:
- Выделение из нее целой рациональной функции — многочлена (он может быть и нулевым) и правильной рациональной дроби.
- Разложить знаменатель %%Q(x)%% на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.
- Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.
- Вычислить интегралы от простейших дробей.
Пример
Найти интеграл от неправильной дроби %%(x^4 + x)/ (x^3 -1)%%.
- Выделим из нее целую рациональную функцию:
$$
\begin{array}{ll}
\frac{x^4 + x}{x^3-1}
&= \frac{x(x^3 + 1 -1) + x}{x^3-1} = \\
&= \frac{x(x^3 - 1) + 2x}{x^3-1} = \\
&= x + \frac{2x}{x^3 -1}.
\end{array}
$$
- Разложим знаменатель на простые множители (в данном случае используем формулу сокращенного умножения)
$$
x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x +1).
$$
- Данное разложение имеет один действительный нуль и пару комплексно сопряженных, поэтому разложение будет выглядеть следующим образом:
$$
\frac{2x}{x^3 -1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}.
$$
После приведения правой части данного равенства к общему знаменателю получим
$$
2x = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x-1).
$$
Это равенство верно при любых значениях %%x%%. Полагая в нем %%x = 1%%, находим %%2 = 3A%%, т.е. %%A = 2/3%%. При %%x = 0%% имеем %%0 = A - C%%, откуда %%C = A = 2/3%%. Наконец, приравнивая коэфициенты при %%x^2%%, получаем %%0 = A + B%%, или %%B = -A = -2/3%%. Тогда
$$
\frac{x^4 + x}{x^3-1} = x + \frac{2}{3}\frac{1}{x-1} - \frac{2}{3}\frac{x-1}{x^2+x+1}.
$$
- Таким образом,
$$
\begin{array}{ll}
\int\frac{x^4 + x}{x^3-1} \mathrm{d}x
&= \int x \mathrm{d}x + \frac{2}{3}\int \frac{1}{x-1}\mathrm{d}x - \\
&- \frac{2}{3}\int\frac{x-1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x.
\end{array}
$$
Первые два интеграла в правой части нетрудно найти при помощи табличных интегралов. В третьей же необходимо выделить полный квадрат: %%x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4%%, и обозначить %%t = x+1/2, \mathrm{d}x = \mathrm{d}t%%. Тогда, используя линейность неопределенного интеграла и применяя интегрирование подведением под знак дифференциала, получается
$$
\begin{array}{ll}
\int\frac{x-1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x
&= \int \frac{t - 3/2}{t^2 + 3/4} \mathrm{d}t \\
&= \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(t^2 + 3/4\right)}{t^2 + 3/4} - \frac{3}{2}\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 3/4} = \\
&= \frac{1}{2} \ln\left|t^2 + 3/4\right| - \sqrt{3}\text{arctg}\frac{2t}{\sqrt{3}} + C.
\end{array}
$$
Возвращаясь к исходной переменной %%x%%, находим
$$
\begin{array}{ll}
\int\frac{x-1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x
&= \frac{1}{2} \ln\left|x^2 + x + 1\right| - \\
&- \sqrt{3}\text{arctg}\frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C,
\end{array}
$$
или окончательно
$$
\begin{array}{ll}
\int \frac{x^4 + x}{x^3-1}\mathrm{d}x
&= \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} \ln |x - 1| - \\
&- \frac{1}{3}\ln\left|x^2 + x + 1\right| - \\
&- \frac{2}{\sqrt 3}\text{arctg}\frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C.
\end{array}
$$