Интегрирование рациональных дробей

Алгоритм

Интегрирование любой дробно-рациональной функции состоит из следующих этапов:

1. Выделение из нее целой рациональной функции — многочлена (он может быть и нулевым) и правильной рациональной дроби.
2. Разложить знаменатель $Q(x)$ на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.
3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.
4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Пример

Найти интеграл от неправильной дроби $(x^4 + x)/ (x^3 -1)$.

1. Выделим из нее целую рациональную функцию: $$\begin{array}{ll} \frac{x^4 + x}{x^3-1} &= \frac{x(x^3 + 1 -1) + x}{x^3-1} = \\ &= \frac{x(x^3 - 1) + 2x}{x^3-1} = \\ &= x + \frac{2x}{x^3 -1}. \end{array}$$
2. Разложим знаменатель на простые множители (в данном случае используем формулу сокращенного умножения) $$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x +1).$$
3. Данное разложение имеет один действительный нуль и пару комплексно сопряженных, поэтому разложение будет выглядеть следующим образом: $$\frac{2x}{x^3 -1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}.$$ После приведения правой части данного равенства к общему знаменателю получим $$2x = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x-1).$$ Это равенство верно при любых значениях $x$. Полагая в нем $x = 1$, находим $2 = 3A$, т.е. $A = 2/3$. При $x = 0$ имеем $0 = A - C$, откуда $C = A = 2/3$. Наконец, приравнивая коэфициенты при $x^2$, получаем $0 = A + B$, или $B = -A = -2/3$. Тогда $$\frac{x^4 + x}{x^3-1} = x + \frac{2}{3}\frac{1}{x-1} - \frac{2}{3}\frac{x-1}{x^2+x+1}.$$
4. Таким образом, $$\begin{array}{ll} \int\frac{x^4 + x}{x^3-1} \mathrm{d}x &= \int x \mathrm{d}x + \frac{2}{3}\int \frac{1}{x-1}\mathrm{d}x - \\ &- \frac{2}{3}\int\frac{x-1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x. \end{array}$$ Первые два интеграла в правой части нетрудно найти при помощи табличных интегралов. В третьей же необходимо выделить полный квадрат: $x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4$, и обозначить $t = x+1/2, \mathrm{d}x = \mathrm{d}t$. Тогда, используя линейность неопределенного интеграла и применяя интегрирование подведением под знак дифференциала, получается $$\begin{array}{ll} \int\frac{x-1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x &= \int \frac{t - 3/2}{t^2 + 3/4} \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(t^2 + 3/4\right)}{t^2 + 3/4} - \frac{3}{2}\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 3/4} = \\ &= \frac{1}{2} \ln\left|t^2 + 3/4\right| - \sqrt{3}\text{arctg}\frac{2t}{\sqrt{3}} + C. \end{array}$$ Возвращаясь к исходной переменной $x$, находим $$\begin{array}{ll} \int\frac{x-1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x &= \frac{1}{2} \ln\left|x^2 + x + 1\right| - \\ &- \sqrt{3}\text{arctg}\frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C, \end{array}$$ или окончательно $$\begin{array}{ll} \int \frac{x^4 + x}{x^3-1}\mathrm{d}x &= \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} \ln |x - 1| - \\ &- \frac{1}{3}\ln\left|x^2 + x + 1\right| - \\ &- \frac{2}{\sqrt 3}\text{arctg}\frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C. \end{array}$$