Таблица интегралов

Поскольку операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратные, то таблицу интегралов можно найти из таблицы производных. В связи с этим такие неопределенные интегралы обычно называют табличными интегралами. Каждая из формул содержит произвольную постоянную $C$ и справедлива в каждом интервале из области определения непрерывности соответствующей подынтегральной функции.

1. $\displaystyle \int u^s \mathrm{d}u = \frac{u^{s+1}}{s+1} + C, s \in \mathbb{R}, s \neq -1.$
2. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}u}{u} = \ln |u| + C$.
3. $\displaystyle \int a^u \mathrm{d}u = \frac{a^u}{\ln a} + C$.
4. $\displaystyle \int e^u \mathrm{d}u = e^u + C$.
5. $\displaystyle \int \sin u~\mathrm{d}u = -\cos u + C$.
6. $\displaystyle \int \cos u~\mathrm{d}u = \sin u + C$.
7. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}u}{\cos^2 u} = \text{tg}~u + C$.
8. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}u}{\sin^2 u} = -\text{ctg}~u + C$.
9. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}u}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \text{arctg}~ \frac{u}{a} + C = -\frac{1}{a} \text{arcctg}~ \frac{u}{a} + C, a \neq 0$.
10. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}u}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{u-a}{u + a}\right| + C, a \neq 0$.
11. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin \frac{u}{a} + C = -\arccos \frac{u}{a} + C, a \neq 0$.
12. $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u^2 + A}} = \ln \left|u + \sqrt{u^2 + A}\right| + C$.

Примеры

1. Найдем неопределенный интеграл от функции $f(x) = 2\sqrt{x} - 3e^x$. $$\begin{array}{l} \int \left(2\sqrt{x} - 3e^x\right) \mathrm{d}x = 2\int x^{1/2} \mathrm{d}x - 3\int e^x \mathrm{d}x = \\ = 2\frac{x^{3/2}}{3/2} - 3e^x + C = \frac{4}{3}x\sqrt{x} - 3e^x + C. \end{array}$$
2. Найдем неопределенный интеграл от функции $1 / \cos^2 (x -5)$. Тогда $\mathrm{d}(x -5) = (x-5)'\mathrm{d}x = \mathrm{d}x$, т.е. добавление к переменной $x$ постоянного числа $b$ не изменяет дифференциал $\mathrm{d}x$, тогда $$\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos^2 (x-5)} = \int \frac{\mathrm{d}(x-5)}{\cos^2(x-5)} = \text{tg}(x-5) + C.$$
3. Найдем неопределенный интеграл от функции $f(ax+ b)$ $$\int f(ax +b) \mathrm{d}x = \frac{1}{a} \int f(ax+b) \mathrm{d}(ax+b) = \frac{1}{a}F(ax +b) + C.$$