Пусть функция %%f(x)%% определена в некотором промежутке %%X%% (на отрезке, в конечном или бесконечном интервале или полуинтервале).
Функцию %%F(x)%% называют первообрáзной функции %%f(x)%%, если %%F'(x) = f(x)%% в каждой точке этого промежутка %%X%%.
Функция %%F(x) = x^3%% является первообразной функции %%f(x) = 3x^2%% на всей числовой прямой %%\mathbb{R}%%. Для функции %%g(x) = 1/\sqrt{x}%%, определенной при %%x > 0%%, первообразной является функция %%G(x) = 2\sqrt{x}%%. Несмотря на то, что функция %%G(x)%% определена при %%x \geq 0%%, первообразной для функции %%g(x)%% она является лишь при %%x > 0%%.
Следует отметить, что для заданной функции %%f(x)%% ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции %%x^3%% и %%x^3 + 5%% и вообще %%x^3 + C, C = \mathrm{const}%% являются первообразными для функции %%f(x) = 3x^2%%.
Функции %%F_1(x)%% и %%F_2(x)%% будут первообразными для функции %%f(x)%% на промежутке %%X%% тогда и только тогда, когда разность их значений для любого %%x \in X%% постоянна, т.е. $$ F_1(x) - F_2(x) = C = \mathrm{const}. $$
Из теоремы следует, что для заданной функции %%f(x)%% достаточно найти одну первообразную %%F(x)%%, чтобы знать все первообразные функции %%f(x)%% в этом промежутке, поскольку они отличаются от %%F(x)%% лишь постоянными слагаемыми. Геометрически это означает, что если найдена кривая %%y = F(x)%%, удовлетворяющая условию %%\big(F(x) + C\big)' = \text{tg}~\alpha = f(x)%%, то, сдвигая ее вдоль оси %%Oy%% ординат, вновь получаются кривые, удовлетворяющие данному условию (поскольку сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке).
Множество всех первообразных функции %%f(x)%% в некотором промежутке называют неопределенным интегралом от этой функции и обозначают %%\int f(x) \mathrm{d}x%%. При этом символ %%\int%% именуют знаком интеграла, %%f(x)%% — подынтегральной функцией, %%f(x) \mathrm{d}x%% — подынтегральным выражением, а %%x%% — переменной интегрирования.
Так, если %%F(x)%% — первообразная функции %%f(x)%% на промежутке %%X%%, то правомерна запись $$ \int f(x) \mathrm{d}x = \big\{F(x) + C\big\}, $$ где %%C = \mathrm{const}%% — произвольная постоянная величина, называемая обычно постоянной интегрирования. Первая часть в формуле определяет бесконечное множество, состоящее из элементов %%F(x) + C%%. Однако фигурные скобки в данном равенстве опускают и пишут $$ \int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C, $$ понимая под %%\int f(x) \mathrm{d}x%% произвольный элемент этого множества. В данном случае ситуация аналогична обозначению символом %%f(x)%% не только функции, но и ее значения в точке %%x%%.
| Интегрирование | Свойства неопределенного интеграла |