Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Пусть функция $f(x)$ определена в некотором промежутке $X$ (на отрезке, в конечном или бесконечном интервале или полуинтервале).

Первообрáзная

Функцию $F(x)$ называют первообрáзной функции $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$ в каждой точке этого промежутка $X$.

Пример

Функция $F(x) = x^3$ является первообразной функции $f(x) = 3x^2$ на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Для функции $g(x) = 1/\sqrt{x}$, определенной при $x > 0$, первообразной является функция $G(x) = 2\sqrt{x}$. Несмотря на то, что функция $G(x)$ определена при $x \geq 0$, первообразной для функции $g(x)$ она является лишь при $x > 0$.

Следует отметить, что для заданной функции $f(x)$ ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции $x^3$ и $x^3 + 5$ и вообще $x^3 + C, C = \mathrm{const}$ являются первообразными для функции $f(x) = 3x^2$.

Теорема

Функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$ будут первообразными для функции $f(x)$ на промежутке $X$ тогда и только тогда, когда разность их значений для любого $x \in X$ постоянна, т.е. $$F_1(x) - F_2(x) = C = \mathrm{const}.$$

Из теоремы следует, что для заданной функции $f(x)$ достаточно найти одну первообразную $F(x)$, чтобы знать все первообразные функции $f(x)$ в этом промежутке, поскольку они отличаются от $F(x)$ лишь постоянными слагаемыми. Геометрически это означает, что если найдена кривая $y = F(x)$, удовлетворяющая условию $\big(F(x) + C\big)' = \text{tg}~\alpha = f(x)$, то, сдвигая ее вдоль оси $Oy$ ординат, вновь получаются кривые, удовлетворяющие данному условию (поскольку сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке).

Понятие неопределенного интеграла

Множество всех первообразных функции $f(x)$ в некотором промежутке называют неопределенным интегралом от этой функции и обозначают $\int f(x) \mathrm{d}x$. При этом символ $\int$ именуют знаком интеграла, $f(x)$ — подынтегральной функцией, $f(x) \mathrm{d}x$ — подынтегральным выражением, а $x$ — переменной интегрирования.

Так, если $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$ на промежутке $X$, то правомерна запись $$\int f(x) \mathrm{d}x = \big\{F(x) + C\big\},$$ где $C = \mathrm{const}$ — произвольная постоянная величина, называемая обычно постоянной интегрирования. Первая часть в формуле определяет бесконечное множество, состоящее из элементов $F(x) + C$. Однако фигурные скобки в данном равенстве опускают и пишут $$\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C,$$ понимая под $\int f(x) \mathrm{d}x$ произвольный элемент этого множества. В данном случае ситуация аналогична обозначению символом $f(x)$ не только функции, но и ее значения в точке $x$.