Интегрирование подстановкой и заменой переменной

Метод замены переменной

В предыдущих примерах при нахождении неопределенного интеграла использовалась подстановка вида $u(x) = t$. Рассмотрим теперь метод интегрирования заменой переменной, т.е. метод, основанный на замене вида $x = \varphi(t)$.

Пусть функция $x = \varphi(t)$ непрерывна и дифференцируема в промежутке $T$, тогда метод замены переменной описывается следующей формулой: $$\int f(x) \mathrm{d}x = \int f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t) \mathrm{d}t.$$

Данная формула показывает, что, переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену в подынтегральном выражении.

Примеры

1. Найти $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{1 - 2x}$.

   Примем $t = 1 - 2x$, тогда $x = \frac{1-t}{2}$, $$\mathrm{d}x = \mathrm{d}\left(\frac{1 - t}{2}\right) = -\frac{\mathrm{d}t}{2},$$ тогда $$\int \frac{\mathrm{d}x}{1 - 2x} = \int \frac{-\mathrm{d}t/2}{t} = -\frac{1}{2} \int\frac{\mathrm{d}t}{t} = -\frac{1}{2} \ln |t| + C = -\frac{1}{2} \ln|1 - 2x| + C.$$

2. Найти $\displaystyle\int \frac{x^2 + 1}{x + 2} \mathrm{d}x$.

   Примем $t = x + 2$. Тогда $\mathrm{d}t = \mathrm{d}(x+2) = \mathrm{d}x$. Ток как $x = t - 2$, то $$\begin{array}{l} \int\frac{x^2 + 1}{x+2} = \int\frac{(t-2)^2 + 1}{t}\mathrm{d}t = \\ = \int\frac{t^2 - 4t + 5}{t} = \int\left(t - 4 + \frac{5}{t}\right)\mathrm{d}t = \\ = \int t~\mathrm{d}t - 4\int \mathrm{d}t + 5\int \frac{\mathrm{d}t}{t} = \\ = \frac{t^2}{2} - 4t + 5 \ln|t| + C = \\ = \frac{(x +2)^2}{2} - 4(x+2) + 5 \ln|x+2| + C. \end{array}$$

Метод интегрирования подстановкой

При интегрировании подведением под знак дифференциала используют инвариатность неопределенного интеграла и предполагают, что первообразная $F(t)$ сложной функции функции $f(t), t = u(x)$ известна. Однако часто подведение под знак дифференциала является лишь первым, подготовительным этапом перехода от исходной подынтегральной функции $g(x) = f\big(u(x)\big)$ к более простой подынтегральной функции $f(t)$. В этом случае $$\int g(x) \mathrm{d}x = \int f\big(u(x)\big) \mathrm{d}u(x) = \int f(t) \mathrm{d}t.$$

Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл в левой части, $g(x)$ представляют в виде произведения $f\big(u(x)\big) u'(x)$, и подводят $u'(x)$ под знак дифференциала, обозначают $u(x)$ через $t$ и, подставляя в подынтегральное выражение $t$вместо $u(x)$, находят неопределенный интеграл от более простой функции $f(t)$. Затем, полагая, что $t = u(x)$, возвращаются к первоначальному аргументу $x$. Такую процедуру называют интегрированием подстановкой.

Примеры

1. Найти интеграл $$\begin{array}{l} \int \frac{e^x \mathrm{d}x}{e^{2x} + 2 e^x +1} = \int \frac{\mathrm{d} e^x}{e^{2x} + 2 e^x +1} = \\ =\left[t = e^x, \mathrm{d}t = e^x \mathrm{d}x\right] = \int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 2t + 1} = \\ = \int\frac{\mathrm{d}t}{(t + 1)^2} = \int \frac{\mathrm{d}(t +1)}{(t+1)^2} = \\ = -\frac{1}{t+1} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C. \end{array}$$
2. В интеграле $\int x^3 \sin^2 x^4 \mathrm{d}x$, подведя под множитель $x^3$ под знак дифференциала и обозначив $x^4$ через $t$, запишем $$\begin{array}{l} \int x^3 \sin^2 x^4 \mathrm{d}x = \frac{1}{4} \int \sin^2\left(x^4\right) \mathrm{d}\left(x^4\right) = \\ = \left[t = x^4\right] = \frac{1}{4} \int \sin^2t~\mathrm{d}t = \frac{1}{8} \int (1 - \cos 2t) \mathrm{d}t = \\ = \frac{1}{8} t - \frac{1}{16} \sin 2t + C = \frac{x^4}{8} - \frac{\sin\left(2x^4\right)}{16} + C. \end{array}$$