Понятие множества

Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью. Такое интуитивное определение понятия множества дал Георг Кантор. Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. Можно сказать, что множество — это любая определенная совокупность объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Множества обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$, ..., а элементы множеств — строчными буквами $a$, $b$, $c$. Основное отношение между элементом $a$ и содержащим его множеством $A$, обозначается так: $a \in A$ ($a$ принадлежит $A$). Если $a$ не является элементом множества $A$, то пишут так: $a \notin A$ ($a$ не принадлежит $A$). Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается $\varnothing$.

Некоторые множества имеют общепринятые обозначения: $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел, $\mathbb{R}$ — множество действительных чисел, $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел.

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества $U$ (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством (или универсумом).