Кортежи и декартово произведение множеств

Пусть даны множества $X_1, X_2,..., X_n$. Кортежем длины $n$, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность $\alpha = (x_1, x_2,.., x_k)$, где для всех $k$, $1 \le k \le n$, $x_k \in X_k$.

Элемент $x_k$ называется $k$-й координатой или $k$-й компонентой кортежа $\alpha$.

Два кортежа равны в том и только том случае, когда они имеют одинаковую длину и их соответствующие координаты равны, т.е. кортежи $\alpha = (x_1,...,x_m)$ и $\beta = (y_1,...,y_n)$ равны только в том случае, когда $m = n$ и $x_k = y_k$ для всех $1 \le k \le n$.

Кортежи длины два называются упорядоченными парами, длины три — упорядоченными тройками, длины $n$ — упорядоченными $n$-ками. Для краткости слово “упорядоченные” обычно опускают.

Кортеж, не содержащий ни одной координаты, имеет длину $0$ и называется пустым.

Пусть даны множества $A, B$. Прямым (декартовым) произведением множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из пар $(a, b)$, где $a \in A$ и $b \in B$, обозначается $A \times B$.

$n$-й декартовой степенью множества $A$ называется его прямое $n$-кратное произведение на самого себя, обозначается: $A^n$.

$$A^n = A \times A^{n-1}$$