Кортежи и декартово произведение множеств

Пусть даны множества %%X_1, X_2,..., X_n%%. Кортежем длины %%n%%, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность %%\alpha = (x_1, x_2,.., x_k)%%, где для всех %%k%%, %%1 \le k \le n%%, %%x_k \in X_k%%.

Элемент %%x_k%% называется %%k%%-й координатой или %%k%%-й компонентой кортежа %%\alpha%%.

Два кортежа равны в том и только том случае, когда они имеют одинаковую длину и их соответствующие координаты равны, т.е. кортежи %%\alpha = (x_1,...,x_m)%% и %%\beta = (y_1,...,y_n)%% равны только в том случае, когда %%m = n%% и %%x_k = y_k%% для всех %%1 \le k \le n%%.

Кортежи длины два называются упорядоченными парами, длины три — упорядоченными тройками, длины %%n%% — упорядоченными %%n%%-ками. Для краткости слово “упорядоченные” обычно опускают.

Кортеж, не содержащий ни одной координаты, имеет длину %%0%% и называется пустым.

Пусть даны множества %%A, B%%. Прямым (декартовым) произведением множеств %%A%% и %%B%% называется множество, состоящее из пар %%(a, b)%%, где %%a \in A%% и %%b \in B%%, обозначается %%A \times B%%.

%%n%%-й декартовой степенью множества %%A%% называется его прямое %%n%%-кратное произведение на самого себя, обозначается: %%A^n%%.

$$A^n = A \times A^{n-1}$$