Свойства операций над множествами

Пусть задан универсум $U$, тогда для любых $A, B, C \subset U$ выполняются следующие свойства:

1. идемпотентность

   • $A \cup A = A$
   • $A \cap A = A$

2. коммутативность

   • $A \cup B = B \cup A$
   • $A \cap B = B \cap A$

3. ассоциативность

   • $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
   • $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$

4. дистрибутивность

   • $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
   • $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

5. поглощение

   • $(A \cap B) \cup A = A$
   • $(A \cup B) \cap A = A$

6. свойства нуля

   • $A \cup \varnothing = A$
   • $A \cap \varnothing = \varnothing$

7. свойства единицы

   • $A \cup U = U$
   • $A \cap U = A$

8. инволютивность

   • $\overline{\overline{A}} = A$

9. законы де Моргана

   • $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
   • $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

10. свойства дополнения

    • $A \cup \overline{A} = U$
    • $A \cap \overline{A} = \varnothing$

11. выражение для разности

    • $A \setminus B = A \cap \overline{B}$

В справедливости приведенных выше свойств легко убедиться либо проиллюстрировав обе части равенства диаграммами Эйлера-Венна, либо проведя формальное рассуждение для каждого равенства.