Свойства операций над множествами

Пусть задан универсум %%U%%, тогда для любых %%A, B, C \subset U%% выполняются следующие свойства:

1. идемпотентность

   • %%A \cup A = A%%
   • %%A \cap A = A%%

2. коммутативность

   • %%A \cup B = B \cup A%%
   • %%A \cap B = B \cap A%%

3. ассоциативность

   • %%A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C%%
   • %%A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C%%

4. дистрибутивность

   • %%A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)%%
   • %%A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)%%

5. поглощение

   • %%(A \cap B) \cup A = A%%
   • %%(A \cup B) \cap A = A%%

6. свойства нуля

   • %%A \cup \varnothing = A%%
   • %%A \cap \varnothing = \varnothing%%

7. свойства единицы

   • %%A \cup U = U%%
   • %%A \cap U = A%%

8. инволютивность

   • %%\overline{\overline{A}} = A%%

9. законы де Моргана

   • %%\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}%%
   • %%\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}%%

10. свойства дополнения

    • %%A \cup \overline{A} = U%%
    • %%A \cap \overline{A} = \varnothing%%

11. выражение для разности

    • %%A \setminus B = A \cap \overline{B}%%

В справедливости приведенных выше свойств легко убедиться либо проиллюстрировав обе части равенства диаграммами Эйлера-Венна, либо проведя формальное рассуждение для каждого равенства.