Первое факультативное занятие: теория множеств

Приведенные ниже задания и вопросы предназначены для самостоятельного решения. Тем не менее, их выполнение не является обязательным условием для изучения следующего урока.

Контрольные вопросы

• Что такое «множество»? Каким образом можно задать множество? Что такое «подмножество»? Какие множества являются равными?
• Какие основные операции выполняются над множествами?
• Для чего используются диаграммы Эйлера-Венна?
• Что такое «кортеж»? Какие кортежи считаются равными?
• Что такое «декартово произведение множеств»?
• Что такое «бинарное отношение»? Какое отношение называется рефлексивным, симметричным, транзитивным?
• Что такое «функция»? Какая функция называется инъективной, сюръективной, биективной?

Задачи

1. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна множество %%(A \setminus B) \cup (B \setminus A)%%.
2. Проверьте все свойства операций над множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
3. Из свойств операций над множествами получите следующие результаты: $$A \cup (A \cap B) = A$$ $$A \cup (\overline{A} \cap B) = A \cup B$$
4. Экзамен по дискретной математике сдавали 250 абитуриентов. Оценку ниже “5” получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 человек (получили оценки “5”, “4” или “3”). Сколько человек получили оценки “3” и “4”?

5. Вчера поздно вечером около площади Ленина произошло ограбление ООО «Рога и Копыта». Служащий, некто Андрей Косилов, утверждает, что пятеро нападавших были вооружены пистолетами, трое — бейсбольными битами и четверо — ножами. При этом, шестеро имели и ножи, и пистолеты, семеро — ножи и бейсбольные биты, двое — бейсбольные биты и пистолеты, а один из грабителей был вооружен пистолетом, бейсбольной битой и ножом. Юрист Игорь Попов, случайно оказавшийся поблизости в момент ограбления, подтвердил показания Косилова.

   Тем не менее, Попов и Косилов были взяты под стражу на следующий же день. Каким образом следователям удалось понять, кто истинный преступник?

6. Каждому алгебраическому уравнению ставится в соответствие его степень. Укажите множество значений для этого отображения.
7. Пусть отношение %%R%% задано на декартовом произведении множеств %%K%% и %%P%%, где %%K%% — множество ключевых слов, а %%P%% — множество веб-страниц. Пара %%(x, y)%% принадлежит %%R%% тогда и только тогда, когда ключевое слово %%x%% содержится на странице %%y%%. Является ли отношение %%R%% функцией? Почему?