Функции

Функцией называется бинарное отношение $f$ из $X$ в $Y$, если из $(x, y) \in f$ и $(x, z) \in f$ следует, что $y = z$. То есть каждому элементу $x \in X$ соответствует не более одного элемента $y \in Y$.

Такое свойство отношения называется однозначностью, или функциональностью.

Говорят, что функция $f$ задана на множестве $X$ со значениями во множестве $Y$, при этом функция $f$ отображает множество $X$ во множество $Y$. Это отображение обозначается как: $f \colon X \rightarrow Y$.

Две функции $f$ и $g$ равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения функции и область ее значений задается так же, как и для бинарных отношений.

Если $f$ — функция, то вместо $(x, y) \in f$ пишут $y = f(x)$ и говорят, что $y$ — значение, соответствующее аргументу $x$, или $y$ — образ элемента $x$ при отображении $f$. При этом $x$ называют прообразом элемента $y$.

Пусть $f \colon X \rightarrow Y$. Тогда функция $f$ называется:

• инъективной, если для любых $x_1, x_2, y$ из $y = f(x_1)$ и $y = f(x_2)$ следует, что $x_1 = x_2$;
• сюръективной, если для любого $y \in Y$ существует $x \in X$ такой, что $y = f(x)$;
• биективной, если $f$ одновременно инъективна и сюръективна.

Если существует биективная функция $f \colon X \rightarrow Y$, то говорят, что $f$ осуществляет взаимно-однозначное соответствие между множествами $X$ и $Y$.

Если $f \colon X \rightarrow Y$ и $g \colon Y \rightarrow Z$, то функция $F \colon X \rightarrow Z$, определенная для каждого $x \in X$ формулой $F = g(f(x))$, называется композицией (суперпозицией) функций $f$ и $g$, или сложной функцией.

Функция $f \colon X_1 \times X_2 \times ... \times X_n \rightarrow Y$ называется функцией $n$ аргументов или $n$-местной функцией.

Пусть задана биективная функция $f \colon X \rightarrow Y$. Тогда определена обратная функция $f^{-1}\colon Y \rightarrow X$, такая что:

• область определения ($Y$) совпадает с областью значений $f$;
• область значений ($X$) совпадает с областью определения $f$;
• $x = f^{-1}(y)$ тогда и только тогда, когда $y = f(x)$.