Функции

Функцией называется бинарное отношение %%f%% из %%X%% в %%Y%%, если из %%(x, y) \in f%% и %%(x, z) \in f%% следует, что %%y = z%%. То есть каждому элементу %%x \in X%% соответствует не более одного элемента %%y \in Y%%.

Такое свойство отношения называется однозначностью, или функциональностью.

Говорят, что функция %%f%% задана на множестве %%X%% со значениями во множестве %%Y%%, при этом функция %%f%% отображает множество %%X%% во множество %%Y%%. Это отображение обозначается как: %%f \colon X \rightarrow Y%%.

Две функции %%f%% и %%g%% равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения функции и область ее значений задается так же, как и для бинарных отношений.

Если %%f%% — функция, то вместо %%(x, y) \in f%% пишут %%y = f(x)%% и говорят, что %%y%% — значение, соответствующее аргументу %%x%%, или %%y%% — образ элемента %%x%% при отображении %%f%%. При этом %%x%% называют прообразом элемента %%y%%.

Пусть %%f \colon X \rightarrow Y%%. Тогда функция %%f%% называется:

• инъективной, если для любых %%x_1, x_2, y%% из %%y = f(x_1)%% и %%y = f(x_2)%% следует, что %%x_1 = x_2%%;
• сюръективной, если для любого %%y \in Y%% существует %%x \in X%% такой, что %%y = f(x)%%;
• биективной, если %%f%% одновременно инъективна и сюръективна.

Если существует биективная функция %%f \colon X \rightarrow Y%%, то говорят, что %%f%% осуществляет взаимно-однозначное соответствие между множествами %%X%% и %%Y%%.

Если %%f \colon X \rightarrow Y%% и %%g \colon Y \rightarrow Z%%, то функция %%F \colon X \rightarrow Z%%, определенная для каждого %%x \in X%% формулой %%F = g(f(x))%%, называется композицией (суперпозицией) функций %%f%% и %%g%%, или сложной функцией.

Функция %%f \colon X_1 \times X_2 \times ... \times X_n \rightarrow Y%% называется функцией %%n%% аргументов или %%n%%-местной функцией.

Пусть задана биективная функция %%f \colon X \rightarrow Y%%. Тогда определена обратная функция %%f^{-1}\colon Y \rightarrow X%%, такая что:

• область определения (%%Y%%) совпадает с областью значений %%f%%;
• область значений (%%X%%) совпадает с областью определения %%f%%;
• %%x = f^{-1}(y)%% тогда и только тогда, когда %%y = f(x)%%.