Свойства вероятности

Вероятность удовлетворяет следующим свойствам:

1. Вероятность противоположного события $$P(\overline{A}) = 1 - P(A).$$
2. Вероятность невозможного события равна 0: $$ P(\varnothing) = 0.$$
3. Если %%A \subset B%%, $$P(A) \leq P(B).$$
4. Вероятность заключена между %%0%% и %%1%%: $$0 \leq P(A) \leq 1.$$
5. Вероятность объединения двух событий: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). $$
6. Вероятность объединения любого конечного числа событий: $$ \begin{array}{ll} P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n) &= P(A_1) + P(A_2) + \ldots + \\ &+ P(A_n) - P(A_1 A_2) - P(A_1 A_3) - \ldots - \\ &- P(A_{n-1} A_n) + P(A_1 A_2 A_3) + P(A_1 A_2 A_4) + \ldots + \\ & + (-1)^{n + 1} P(A_1 A_2 \ldots A_n). \end{array} $$

Утверждения %%5%% и %%6%% называют теоремами сложения вероятностей для двух и для %%n%% событий соответственно.

Пример

Приведем пример, показывающий, что без учета того, что события совместные, можно прийти к неправильному результату.

Опыт состоит в двукратном подбрасывании симметричной монеты. Найдем вероятность события %%A%%, означающего появление «герба» хотя бы один раз. Обозначим %%A_i%% — появление «герба» при %%i-\text{м}%% подбрасывании, %%i = 1,2%%. Ясно, что $$ A = A_1 \cup A_2, $$ и в соответствии с классической схемой вероятности $$ P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}. $$

Если не учитывать, что %%A_1%% и %%A_2%% — совместные события, то можно получить следующий результат: $$ P(A) = P(A_1) + P(A_2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1, $$ противоречащий здравому смыслу, поскольку ясно, что событие %%A%% не является достоверным. Применяя теорему сложения для двух совместных событий и учитывая равенство $$ P(A_1 A_2) = \frac{1}{4}, $$ находим $$ P(A) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 A_2) = \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. $$

Следствие аксиомы 3

Для любых попарно непересекающихся событий %%A_1, A_2, \ldots, A_n%% справедливо равенство $$ P(A_1 + A_2 + \ldots + A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_n). $$