Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Материал предоставлен https://it.rfei.ru

Свойства вероятности

Вероятность удовлетворяет следующим свойствам:

  1. Вероятность противоположного события P(¯A)=1P(A).
  2. Вероятность невозможного события равна 0: P()=0.
  3. Если AB, P(A)P(B).
  4. Вероятность заключена между 0 и 1: 0P(A)1.
  5. Вероятность объединения двух событий: P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).
  6. Вероятность объединения любого конечного числа событий: P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+++P(An)P(A1A2)P(A1A3)P(An1An)+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+++(1)n+1P(A1A2An).

Утверждения 5 и 6 называют теоремами сложения вероятностей для двух и для n событий соответственно.

Пример

Приведем пример, показывающий, что без учета того, что события совместные, можно прийти к неправильному результату.

Опыт состоит в двукратном подбрасывании симметричной монеты. Найдем вероятность события A, означающего появление «герба» хотя бы один раз. Обозначим Ai — появление «герба» при iм подбрасывании, i=1,2. Ясно, что A=A1A2, и в соответствии с классической схемой вероятности P(A1)=P(A2)=12.

Если не учитывать, что A1 и A2 — совместные события, то можно получить следующий результат: P(A)=P(A1)+P(A2)=12+12=1, противоречащий здравому смыслу, поскольку ясно, что событие A не является достоверным. Применяя теорему сложения для двух совместных событий и учитывая равенство P(A1A2)=14, находим P(A)=P(A1)+P(A2)P(A1A2)==12+1214=34.

Следствие аксиомы 3

Для любых попарно непересекающихся событий A1,A2,,An справедливо равенство P(A1+A2++An)=P(A1)+P(A2)++P(An).

Аксиоматическое определение вероятностиРешение типовых примеров