Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов %%\Omega%% тогда, когда %%\Omega%% представляет собой подмножество пространства %%\mathbb {R}%% (числовой прямой), %%\mathbb {R}^2%% (плоскости), %%\mathbb {R}^n%% (n-мерного евклидова пространства).

В пространстве %%\mathbb {R}%% в качестве подмножеств будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, т.е. подмножества, которые имеют длину. В пространстве %%\mathbb {R}^2%% — те подмножества, которые имеют площадь, и т.д.

Под мерой %%\mu(A)%% подмножества %%A%% будем понимать его длину, площадь или объем (обобщенный объем) в зависимости от того, какому пространству принадлежит %%\Omega%%: в %%\mathbb {R}%%, в %%\mathbb {R}^2%% или в %%\mathbb {R}^3 (\mathbb {R}^n)%%. Будем также считать, что пространство элементарных исходов %%\Omega%% имеет конечную меру, а вероятность попадания «случайно брошенной» точки в любое подмножество %%\Omega%% пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы. В этом случае говорят, что рассматривается «геометрическая схема» или «точку наудачу бросают в область %%\Omega%%».

Определение

Вероятностью события %%A%% называют число %%P(A)%%, равное отношению меры множества %%A%% к мере множества %%\Omega%%: $$ P(A) = \frac{\mu (A)}{\mu (\Omega)}, $$ где %%\mu(A)%% — мера множества %%A%%.

Данное определение вероятности события принято называть геометрическим определением вероятности.

Замечание

Приведенное определение геометрической вероятности с математической точки зрения не является корректным, поскольку в %%n-%%мерном пространстве существуют подмножества, не имеющие меры.

Пример

На отрезок %%OA%% длины %%L%% числовой оси %%Ox%% наудачу поставлена точка %%B(x)%%. Найти вероятность того, что меньший из отрезков %%OB%% и %%BA%% имеет длину, большую %%L/3%%. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение

Разобьем отрезок %%OA%% точками %%C%% и %%D%% на %%3%% равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка %%B(x)%% попадет на отрезок %%CD%% длины %%L/3%%. Искомая вероятность $$ P = (L/3) / L = 1/3 $$

Пример

На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых %%5%% и %%10%% см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение

Площадь круга вычисляется по формуле: %%\pi r^2%%, где %%r%% — радиус окружности, тогда площадь кольца %%c%% равна $$ S_c = 10^2 \pi - 5^2 \pi = (100 - 25) \pi = 75 \pi, $$ а площадь большого круга %%C%% $$ S_C = \pi 10^2 = 100 \pi, $$ Тогда искомая вероятность равна $$ P = \frac{S_c}{S_C} = 0.75. $$