Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов $\Omega$ тогда, когда $\Omega$ представляет собой подмножество пространства $\mathbb {R}$ (числовой прямой), $\mathbb {R}^2$ (плоскости), $\mathbb {R}^n$ (n-мерного евклидова пространства).

В пространстве $\mathbb {R}$ в качестве подмножеств будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, т.е. подмножества, которые имеют длину. В пространстве $\mathbb {R}^2$ — те подмножества, которые имеют площадь, и т.д.

Под мерой $\mu(A)$ подмножества $A$ будем понимать его длину, площадь или объем (обобщенный объем) в зависимости от того, какому пространству принадлежит $\Omega$: в $\mathbb {R}$, в $\mathbb {R}^2$ или в $\mathbb {R}^3 (\mathbb {R}^n)$. Будем также считать, что пространство элементарных исходов $\Omega$ имеет конечную меру, а вероятность попадания «случайно брошенной» точки в любое подмножество $\Omega$ пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы. В этом случае говорят, что рассматривается «геометрическая схема» или «точку наудачу бросают в область $\Omega$».

Определение

Вероятностью события $A$ называют число $P(A)$, равное отношению меры множества $A$ к мере множества $\Omega$: $$P(A) = \frac{\mu (A)}{\mu (\Omega)},$$ где $\mu(A)$ — мера множества $A$.

Данное определение вероятности события принято называть геометрическим определением вероятности.

Замечание

Приведенное определение геометрической вероятности с математической точки зрения не является корректным, поскольку в $n-$мерном пространстве существуют подмножества, не имеющие меры.

Пример

На отрезок $OA$ длины $L$ числовой оси $Ox$ наудачу поставлена точка $B(x)$. Найти вероятность того, что меньший из отрезков $OB$ и $BA$ имеет длину, большую $L/3$. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение

Разобьем отрезок $OA$ точками $C$ и $D$ на $3$ равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка $B(x)$ попадет на отрезок $CD$ длины $L/3$. Искомая вероятность $$P = (L/3) / L = 1/3$$

Пример

На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых $5$ и $10$ см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение

Площадь круга вычисляется по формуле: $\pi r^2$, где $r$ — радиус окружности, тогда площадь кольца $c$ равна $$S_c = 10^2 \pi - 5^2 \pi = (100 - 25) \pi = 75 \pi,$$ а площадь большого круга $C$ $$S_C = \pi 10^2 = 100 \pi,$$ Тогда искомая вероятность равна $$P = \frac{S_c}{S_C} = 0.75.$$