Классическое определение

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных исходов $\Omega$ содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможны. Понятие равновозможности поясним следующим образом.

Элементарные исходы в некотором опыте называют равновозможными, если в силу условий проведения опыта можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Опыт, удовлетворяющий условию равновозможности элементарных исходов, часто называют также классической схемой.

Пусть $N$ — общее число равновозможных элементарных исходов в $\Omega$, a $N_A$ — число элементарных исходов, образующих событие $A$ (или, как говорят, благоприятствующих событию $A$).

Определение

Вероятностью события $A$ называют отношение числа $N_A$ благоприятствующих событию $A$ элементарных исходов к общему числу $N$ равновозможных элементарных исходов, т.е. $$P(A) = \frac{N_A}{N}.$$

Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Заметим, что наряду с названием «классическая схема» используют также названия «случайный выбор», «равновероятный выбор» и т.д.

Пример

Из урны, содержащей $n = 5$ белых и $m = 10$ черных шаров (шары отличаются лишь цветом), наугад вынимают один шар. Требуется найти вероятность $P(A)$ события $А$, заключающегося в том, что из урны извлечен белый шар.

Для решения поставленной задачи заметим, что число элементарных исходов в данном опыте совпадает с общим числом шаров в урне $$N = 5 + 10 = 15,$$ причем все исходы равновозможны, а число благоприятствующих событию $A$ исходов $$N_A = n = 5.$$

Поэтому, по определению: $$P(A) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.$$

Свойства

1. Для любого события $A$ вероятность удовлетворяет равенству $$P(A) \geq 0.$$
2. Вероятность достоверного события $\Omega$, которое содержит все $N$ элементарных исходов равна $1$. $$P(\Omega) = 1.$$
3. Если события $A$ и $B$ несовместны, то $$P(A + B) = P(A) + P(B).$$
4. Вероятность невозможного события равна $0$.
5. Для любого события $A$, вероятность противоположного события вычисляется по формуле $$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

Недостаток классического определения заключается в том, что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящим из конечного числа равновозможных исходов. Этим определением нельзя воспользоваться даже в тех случаях, когда пространство элементарных исходов конечно, но среди исходов есть более предпочтительные или менее предпочтительные.