Аксиоматическое определение вероятности

Пусть каждому событию $A$ (т.е. подмножеству $A$ пространства элементарных исходов $\Omega$) поставлено в соответствие число $P(A)$. Числовую функцию $P$ называют вероятностью (или вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Аксиома неотрицательности: $P(A) \geq 0$.
2. Аксиома нормированности: $P(\Omega) = 1$.
3. Расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий $A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots$ справедливо равенство $$P(A_1 + A_2 + \ldots + A_n + \ldots) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_n) + \ldots$$

Значение $P(A)$ называют вероятностью события $A$.

Если пространство элементарных исходов $\Omega$ является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу $\omega_i, i = 1,2, \ldots,$ можно поставить в соответствие число $P(\omega_i) = p_i \geq 0$ так, что $$\sum_{\omega_i \in \Omega} = \sum_{i = 1}^{\infty} p_i = 1.$$

Тогда, для любого события $А \subset \Omega$ в силу аксиомы $3$ вероятность $P(А)$ равна сумме вероятностей $P(\omega_i)$ всех тех элементарных исходов, которые входят в событие $А$, т.е. $$P(A) = \sum_{w_i \in A} P(w_i).$$

Таким образом, мы определили вероятность любого события, используя вероятности элементарных исходов. Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать совершенно произвольно, лишь бы они были неотрицательными и в сумме составляли единицу. Именно в этом и состоит идея аксиоматического определения вероятности.