Аксиоматическое определение вероятности

Пусть каждому событию %%A%% (т.е. подмножеству %%A%% пространства элементарных исходов %%\Omega%%) поставлено в соответствие число %%P(A)%%. Числовую функцию %%P%% называют вероятностью (или вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Аксиома неотрицательности: %%P(A) \geq 0%%.
2. Аксиома нормированности: %%P(\Omega) = 1%%.
3. Расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий %%A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots%% справедливо равенство $$P(A_1 + A_2 + \ldots + A_n + \ldots) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_n) + \ldots $$

Значение %%P(A)%% называют вероятностью события %%A%%.

Если пространство элементарных исходов %%\Omega%% является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу %%\omega_i, i = 1,2, \ldots,%% можно поставить в соответствие число %%P(\omega_i) = p_i \geq 0%% так, что $$ \sum_{\omega_i \in \Omega} = \sum_{i = 1}^{\infty} p_i = 1. $$

Тогда, для любого события %%А \subset \Omega%% в силу аксиомы %%3%% вероятность %%P(А)%% равна сумме вероятностей %%P(\omega_i)%% всех тех элементарных исходов, которые входят в событие %%А%%, т.е. $$ P(A) = \sum_{w_i \in A} P(w_i). $$

Таким образом, мы определили вероятность любого события, используя вероятности элементарных исходов. Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать совершенно произвольно, лишь бы они были неотрицательными и в сумме составляли единицу. Именно в этом и состоит идея аксиоматического определения вероятности.