Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики

При решении задач, заключающихся в определении вероятности, наибольшую трудность представляет подсчет общего числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. В этом случае полезно обратиться к формулам комбинаторики.

Правило произведения

Если объект %%A%% можно выбрать из совокупности объектов %%n%% способами и после каждого такого выбора объект %%B%% можно выбрать %%m%% способами, то упорядоченная пара объектов %%(A, B)%% может быть выбрана %%nm%% способами.

Это выражение называют основной формулой комбинаторики.

Правило суммы

Если некоторый объект %%A%% может быть выбран из совокупности объектов %%n%% способами, а другой объект %%B%% может быть выбран %%m%% способами, то выбрать либо %%A%%, либо %%B%% можно %%n + m%% способами.

Определения

Выборку, в которой не учитывают порядок выбора элементов, называют сочетанием, а выборку, в которой учитывают порядок выбора элементов, — размещением. При этом если рассматривают выборку с возвращением, то сочетание (размещение) называют сочетанием (размещением) с повторениями, а если рассматривают выборку без возвращения, то сочетание (размещение) называют сочетанием (размещением) без повторений, или просто сочетанием (размещением).

Размещение без повторений из %%n%% элементов по %%n%% элементов называют перестановкой из %%n%% элементов.

Обозначения и вычисление

Размещение из %%n%% элементов по %%k%%, где %%k \leq n%%, обозначается %%A_n^k%% и вычисляется по формуле $$ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}, $$ где %%n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n%% и читается как %%n-%%факториал. По определению %%0! = 1%%.

Сочетанием из %%n%% элементов по %%k%%, где %%k \leq n%%, обозначается %%C_n^k%% и вычисляется по формуле $$ C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!k!} $$

Перестановка из %%n%% элементов обозначается %%P_n%% и вычисляется по формуле $$ P_n = n! $$

Примеры

1. Из шести карточек, образующих слово «МАСТЕР», наудачу выбирают три и выкладывают слева направо. Найдем вероятность %%P(A)%% того, что в результате получится слово «МАТ».

   Элементарным исходом в данном опыте является любая тройка карточек с учетом порядка их выбора, т.е. размещение из %%n = 6%% элементов по %%k = 3%% элементов. Поэтому число этих исходов равно числу размещений из шести элементов по три элемента, т.е. $$ N = A_6^3 = \frac{6!}{3!} = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120. $$ Очевидно, что число исходов, благоприятствующих событию %%A%%, $$ N_A = 1. $$ Следовательно, $$ P(A) = \frac{N_A}{N} = \frac{1}{120}. $$

2. К Новому году четырем детям были приготовлены подарки. Дед Мороз перепутал подарки и вручил их детям случайным образом. Найдем вероятность %%P(A)%% того, что каждый ребенок получил свой подарок.

   В данном случае число элементарных исходов равно числу перестановок из %%n = 4%% элементов, т.е. $$ N = P_4 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24. $$ Поскольку число благоприятствующих событию %%А%% исходов %%N_A = 1%%, то $$P(A) = \frac{N_A}{N} = \frac{1}{24}.$$

3. В партии из %%10%% деталей %%7%% стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей четыре стандартных.

   Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь %%6%% деталей из %%10%%, т.е. числу сочетаний из %%10%% элементов по %%6%% элементов %%C_{10}{6}%%.

   Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию %%A%% (среди шести взятых деталей - 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей %%C_7^4%% способами; при этом остальные %%6 - 4 = 2%% детали должны быть нестандартными; взять же %%2%% нестандартные детали из %%10 - 7 = 3%% нестандартных деталей можно %%C_3^2%% способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов, по правилу произведения, равно %%C_7^4\cdot C_3^2%%.

   Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных $$ P(A) = \frac{C_7^4\cdot C_3^2}{C_{10}^6} = \frac{\frac{7!}{4!3!}\frac{3!}{2!1!}}{\frac{10!}{6!4!}} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}. $$