Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики

При решении задач, заключающихся в определении вероятности, наибольшую трудность представляет подсчет общего числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. В этом случае полезно обратиться к формулам комбинаторики.

Правило произведения

Если объект $A$ можно выбрать из совокупности объектов $n$ способами и после каждого такого выбора объект $B$ можно выбрать $m$ способами, то упорядоченная пара объектов $(A, B)$ может быть выбрана $nm$ способами.

Это выражение называют основной формулой комбинаторики.

Правило суммы

Если некоторый объект $A$ может быть выбран из совокупности объектов $n$ способами, а другой объект $B$ может быть выбран $m$ способами, то выбрать либо $A$, либо $B$ можно $n + m$ способами.

Определения

Выборку, в которой не учитывают порядок выбора элементов, называют сочетанием, а выборку, в которой учитывают порядок выбора элементов, — размещением. При этом если рассматривают выборку с возвращением, то сочетание (размещение) называют сочетанием (размещением) с повторениями, а если рассматривают выборку без возвращения, то сочетание (размещение) называют сочетанием (размещением) без повторений, или просто сочетанием (размещением).

Размещение без повторений из $n$ элементов по $n$ элементов называют перестановкой из $n$ элементов.

Обозначения и вычисление

Размещение из $n$ элементов по $k$, где $k \leq n$, обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле $$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!},$$ где $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ и читается как $n-$факториал. По определению $0! = 1$.

Сочетанием из $n$ элементов по $k$, где $k \leq n$, обозначается $C_n^k$ и вычисляется по формуле $$C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!k!}$$

Перестановка из $n$ элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле $$P_n = n!$$

Примеры

1. Из шести карточек, образующих слово «МАСТЕР», наудачу выбирают три и выкладывают слева направо. Найдем вероятность $P(A)$ того, что в результате получится слово «МАТ».

   Элементарным исходом в данном опыте является любая тройка карточек с учетом порядка их выбора, т.е. размещение из $n = 6$ элементов по $k = 3$ элементов. Поэтому число этих исходов равно числу размещений из шести элементов по три элемента, т.е. $$N = A_6^3 = \frac{6!}{3!} = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120.$$ Очевидно, что число исходов, благоприятствующих событию $A$, $$N_A = 1.$$ Следовательно, $$P(A) = \frac{N_A}{N} = \frac{1}{120}.$$

2. К Новому году четырем детям были приготовлены подарки. Дед Мороз перепутал подарки и вручил их детям случайным образом. Найдем вероятность $P(A)$ того, что каждый ребенок получил свой подарок.

   В данном случае число элементарных исходов равно числу перестановок из $n = 4$ элементов, т.е. $$N = P_4 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24.$$ Поскольку число благоприятствующих событию $А$ исходов $N_A = 1$, то $$P(A) = \frac{N_A}{N} = \frac{1}{24}.$$

3. В партии из $10$ деталей $7$ стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей четыре стандартных.

   Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь $6$ деталей из $10$, т.е. числу сочетаний из $10$ элементов по $6$ элементов $C_{10}{6}$.

   Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию $A$ (среди шести взятых деталей - 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей $C_7^4$ способами; при этом остальные $6 - 4 = 2$ детали должны быть нестандартными; взять же $2$ нестандартные детали из $10 - 7 = 3$ нестандартных деталей можно $C_3^2$ способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов, по правилу произведения, равно $C_7^4\cdot C_3^2$.

   Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных $$P(A) = \frac{C_7^4\cdot C_3^2}{C_{10}^6} = \frac{\frac{7!}{4!3!}\frac{3!}{2!1!}}{\frac{10!}{6!4!}} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}.$$