Ограниченность классического определения вероятности. Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей и, конечно, использованием аксиоматической вероятности.

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко.

По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу %%0.4%%, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то %%N_A = N%% и относительная частота $$ \frac{N_A}{N} = \frac{N}{N} = 1, $$ т. е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.

Если событие невозможно, то %%N_A = 0%% и, следовательно, относительная частота $$ \frac{N_A}{N} = \frac{0}{N} = 0, $$ т. е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.

Для любого события %%A%% %%0 \leq N_A \leq N%% и, следовательно, относительная частота $$ 0 \leq \frac{N_A}{N} \leq 1, $$ т. е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Для существования статистической вероятности события %%A%% требуется:

• возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие %%A%% наступает или не наступает;
• устойчивость относительных частот появления %%A%% в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так, в приведенном примере в качестве вероятности события можно принять не только %%0.4%%, но и %%0.39%%; %%0.41%% и т. д.