Куб с окрашенными гранями распилен на %%27%% одинаковых кубиков. Найдем вероятность того, что у выбранного наудачу кубика будет окрашена одна грань (две грани, три грани).
Общее число элементарных исходов в данном опыте %%N = 27%%. Обозначим: %%A%% — событие, заключающееся в том, что у выбранного кубика окрашена одна грань; %%B%% — две грани и %%C%% — три грани. Событию %%A%% благоприятствует %%N_A = 6%% элементарных исходов (число граней у исходного куба), событию %%B%% — %%N_B = 12%% исходов (число ребер у исходного куба), а событию %%C%% — %%8%% исходов (число вершин у исходного куба). Поэтому $$ P(A) = \frac{6}{27}, \\ P(B) = \frac{12}{27}, \\ P(C) = \frac{8}{27}. $$
Из колоды в %%36%% игральных карт выбирают наудачу пять карт. Найдем вероятность того, что среди этих карт будут десять «пик», валет «пик», дама «пик», король «пик» и туз «пик».
Поскольку порядок выбора в данном случае не существен и карты обратно в колоду не возвращаются, то число элементарных исходов равно числу сочетаний без повторений из %%36%% элементов по %%5%% элементов, т.е. $$ N = C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = 376992. $$ Рассматриваемому событию %%A%% благоприятствует единственный исход (%%N_A = 1%%). Поэтому $$ P(A) = \frac{1}{376992}. $$
Группа, состоящая из восьми человек, занимает место за круглым столом. Найдем вероятность того, что два определенных человека окажутся сидящими рядом.
Так как упорядочивается все множество из восьми элементов, то мы имеем дело с перестановкой из восьми элементов. Поэтому $$ N = P_8 = 8! $$
Рассматриваемому событию %%A%% благоприятствуют такие перестановки, когда два отмеченных лица садятся рядом: всего восемь различных пар мест за столом и за каждую пару мест данные лица могут сесть двумя способами. При этом остальные шесть человек могут разместиться на оставшихся местах произвольно. Значит, $$ N_A = 2 \cdot 8 \cdot P_6 = 16 \cdot 6!. $$ Тогда $$ P(A) = \frac{16 \cdot 6!}{8!} = \frac{2}{7} $$
Из десяти первых букв русского алфавита составлены всевозможные трехбуквенные слова. Найдем вероятность того, что случайно выбранное слово окажется словом «ВАЗ».
Число различных слов равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по три элемента, т.е. $$ N = \overline{A_{10}^3} = 10^3. $$
Поскольку благоприятствующий исход только один, то $$ P(A) = 0,001. $$
В урне имеются четыре шара различного цвета. Наудачу из урны извлекают шар и после определения его цвета возвращают обратно. Найдем вероятность того, что среди восьми выбранных шаров будут только шары одного цвета (событие %%A%%), будет по два шара разного цвета (событие %%B%%).
Число элементарных исходов равно числу с повторениями из четырех элементов по восемь элементов $$ N = \overline{A_4^8} = 4^8. $$
Для того чтобы найти число исходов, благоприятствующих событию %%A%%, предположим сначала, что вынимают только шары первого цвета. Это можно сделать только одним способом. Аналогично только одним способом можно выбрать шары второго, третьего и четвертого цветов. Поэтому %%N_A = 4%% и $$ P(A) = \frac{4}{4^8} = \frac{1}{4^7}. $$
Число исходов, благоприятствующих событию %%B%%, равно числу тех сочетаний с повторениями из четырех элементов по восемь элементов, в которых каждый элемент повторяется по два раза, т.е. $$ N_B = C(2,2,2,2) = 2520. $$ Тогда $$ P(B) = \frac{2520}{4^8} $$
%%C(m_1, m_2, \ldots, m_n)%% — число сочетаний с повторениями из %%n%% элементов по %%m%% элементов, в которых первый элемент встречается ровно %%m_1%% раз, второй элемент встречается ровно %%m_2%%, %%n%%-й элемент встречается ровно %%m_n%% раз %%(m_1 + m_2 + \ldots + m_n = m)%%. И вычисляется по формуле: $$ C(m_1, m_2, \ldots, m_n) = \frac{m!}{m_1!m_2!\ldots m_n!}. $$
| Свойства вероятности | Проверка знаний: вероятность |