При решении различных задач часто интересующее нас событие %%A%% можно достаточно просто выразить через некоторые события %%A_1,A_2, \ldots, A_n%% с помощью операций объединения или пересечения. Если %%A = A_1 A_2 \ldots A_n%%, то для нахождения вероятности %%P(A)%% события %%A%% обычно удобно использовать следующую теорему.
Если %%A = A_1 A_2 \ldots A_n%% (т.е. пересечение событий %%A_1,A_2, \ldots, A_n%%) и %%P(A) > 0%%, то справедливо равенство: $$ P(A) = P(A_1) P(A_2|A_1) P(A_3| A_1A_2) \cdots P(A_n|A_1 A_2 \ldots A_{n-1}). $$
Это равенство и называется формула умножения вероятностей.
На десяти карточках написаны буквы, образующие слово «МАТЕМАТИКА». Карточки перемешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо четыре карточки. Найдем вероятность того, что получится слово «ТЕМА» (событие %%A%%).
Введем события %%A_1%% — на первой карточке написана буква «Т», %%A_2%% — на второй карточке — «Е», %%A_3%% — на третьей карточке — «М», %%A_4%% — на четвертой — «А». Тогда событие %%A%% есть пересечение событий %%A_i, i = \overline{1,4}%%. Следовательно, $$ P(A) = P(A_1) P(A_2|A_1) P(A_3|A_1 A_2) P(A_4 | A_1 A_2 A_3). $$
Согласно классическому определению вероятности имеем: $$ P(A_1) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}. $$ Если событие %%A_1%% произошло, то на девяти оставшихся карточках букву «Е» можно выбрать одним способом, поэтому $$ P(A_2|A_1) = \frac{1}{9}. $$
Аналогично определяем: $$ \begin{array}{l} P(A_3|A_1 A_2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \\ P(A_4|A_1 A_2 A_3) = \frac{3}{7}. \end{array} $$ Тогда $$ P(A) = \frac{1}{5} \frac{1}{9} \frac{1}{4} \frac{3}{7} = \frac{1}{420}. $$
| Геометрическая интерпретация условной вероятности | Формула полной вероятности |