Формула умножения вероятностей

При решении различных задач часто интересующее нас событие $A$ можно достаточно просто выразить через некоторые события $A_1,A_2, \ldots, A_n$ с помощью операций объединения или пересечения. Если $A = A_1 A_2 \ldots A_n$, то для нахождения вероятности $P(A)$ события $A$ обычно удобно использовать следующую теорему.

Теорема (умножения вероятностей)

Если $A = A_1 A_2 \ldots A_n$ (т.е. пересечение событий $A_1,A_2, \ldots, A_n$) и $P(A) > 0$, то справедливо равенство: $$P(A) = P(A_1) P(A_2|A_1) P(A_3| A_1A_2) \cdots P(A_n|A_1 A_2 \ldots A_{n-1}).$$

Это равенство и называется формула умножения вероятностей.

Пример

На десяти карточках написаны буквы, образующие слово «МАТЕМАТИКА». Карточки перемешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо четыре карточки. Найдем вероятность того, что получится слово «ТЕМА» (событие $A$).

Решение

Введем события $A_1$ — на первой карточке написана буква «Т», $A_2$ — на второй карточке — «Е», $A_3$ — на третьей карточке — «М», $A_4$ — на четвертой — «А». Тогда событие $A$ есть пересечение событий $A_i, i = \overline{1,4}$. Следовательно, $$P(A) = P(A_1) P(A_2|A_1) P(A_3|A_1 A_2) P(A_4 | A_1 A_2 A_3).$$

Согласно классическому определению вероятности имеем: $$P(A_1) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}.$$ Если событие $A_1$ произошло, то на девяти оставшихся карточках букву «Е» можно выбрать одним способом, поэтому $$P(A_2|A_1) = \frac{1}{9}.$$

Аналогично определяем: $$\begin{array}{l} P(A_3|A_1 A_2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \\ P(A_4|A_1 A_2 A_3) = \frac{3}{7}. \end{array}$$ Тогда $$P(A) = \frac{1}{5} \frac{1}{9} \frac{1}{4} \frac{3}{7} = \frac{1}{420}.$$