Формула полной вероятности

Пусть дана группа событый $H_1, H_2, \ldots, H_n$ и выполняются следующие условия:

1. События $H_i, i = \overline{1,n}$ попарно несовместны, т.е.

   $$H_i \cap H_j = \varnothing, i \neq j.$$

2. В результате выполенния опыта одно из событий $H_i, i = \overline{1,n}$ обязательно выполняется, т.е.

   $$H_1 \cup H_2 \cup \ldots \cup H_n = \Omega.$$

Определение

События $H_1, H_2, \ldots, H_n$, удовлетворяющие условиям $1$ и $2$, называются гипотезами.

Заметим, что группу гипотез называют полной группой событий или разбиением пространства $\Omega$.

Теорема (без доказательсва)

Пусть $H_1, H_2, \ldots, H_n$ — гипотезы, тогда для любого события $A$ его безуслованая вероятность вычисляется по формуле $$P(A) = \sum_{i=1}^n P(H_i) P(A|H_i),$$ которую называют формулой полной вероятности.

Пример 1

В партии есть бракованные детали $1$-го и $2$-го сортов. Деталей $1$-го сорта вдвое больше чем бракованных деталей, а деталей $2$-го сорта вдвое больше чем деталей первого сорта. Надежность работы детали $1$-го сорта — $0.95$, $2$-го — $0.8$, бракованной — $0.5$. Найти вероятность того, что взятая случайным образом деталь выйдет из строя во время гарантийного срока.

Решение

Обозначим событие $A$ — событие выхода из строя детали и введем следующие гипотезы:

1. $H_1$ — взяли деталь $1$-го сорта.
2. $H_2$ — взяли деталь $2$-го сорта.
3. $H_3$ — взяли бракованную деталь.

Причем $$\begin{array}{l} P(H_1) = \frac{2}{7}, \\ P(H_2) = \frac{4}{7}, \\ P(H_3) = \frac{1}{7}. \end{array}$$

Вероятности выхода из строя деталей при соответствующих гипотезах равны $$\begin{array}{l} P(A | H_1) = 1 - 0.95 = 0.05, \\ P(A | H_2) = 1 - 0.8 = 0.2, \\ P(A | H_3) = 1 - 0.5 = 0.5. \end{array}$$

Тогда вероятность того, что деталь выйдет из строя будет равна $$\begin{array}{ll} P(A) & = \sum_{i = 1}^3 P(H_i)P(A|H_i) = \\ & = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2) P(A|H_2) + P(H_3) P (A|H3) = \\ & = \frac{2}{7} 0.05 + \frac{4}{7} 0.2 + \frac{1}{7} 0.5 = 0.2 \end{array}$$

Пример 2

По линии связи посылаются сигналы $1$ и $0$ с вероятностями $p_1 = 0.6, p_0 = 0.4$. Если посылается сигнал $1$, то с вероятностями $p_{11} = 0.9, p_{10} = 0.1$ принимаются сигналы $1$ и $0$ соответсвенно. Если посылается сигнал $0$, то с вероятностями $p_{01} = 0.3, p_{00} = 0.7$ принимаются сигналы $1$ и $0$ соответственно. Какова вероятность того, что принимается сигнал $1$?

Решение

Пусть событие $A$ — принятие сигнала $1$, тогда, приняв за $H_1$ посылку сигнала $1$, а за $H_2$ — сигнала $0$, получим следующие условные вероятности: $$\begin{array}{l} P(A|H_1) = 0.9, \\ P(A|H_2) = 0.3. \end{array}$$ Тогда искомая вероятность $$\begin{array}{ll} P(A) &= P(H_1) P(A|H_1) + P(H_2) P(A | H_2) = \\ &= 0.6 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot 0.3 = 0.54 + 0.12 = 0.66. \end{array}$$