Формула полной вероятности

Пусть дана группа событый %%H_1, H_2, \ldots, H_n%% и выполняются следующие условия:

1. События %%H_i, i = \overline{1,n}%% попарно несовместны, т.е.

   $$ H_i \cap H_j = \varnothing, i \neq j. $$

2. В результате выполенния опыта одно из событий %%H_i, i = \overline{1,n}%% обязательно выполняется, т.е.

   $$ H_1 \cup H_2 \cup \ldots \cup H_n = \Omega. $$

Определение

События %%H_1, H_2, \ldots, H_n%%, удовлетворяющие условиям %%1%% и %%2%%, называются гипотезами.

Заметим, что группу гипотез называют полной группой событий или разбиением пространства %%\Omega%%.

Теорема (без доказательсва)

Пусть %%H_1, H_2, \ldots, H_n%% — гипотезы, тогда для любого события %%A%% его безуслованая вероятность вычисляется по формуле $$ P(A) = \sum_{i=1}^n P(H_i) P(A|H_i), $$ которую называют формулой полной вероятности.

Пример 1

В партии есть бракованные детали %%1%%-го и %%2%%-го сортов. Деталей %%1%%-го сорта вдвое больше чем бракованных деталей, а деталей %%2%%-го сорта вдвое больше чем деталей первого сорта. Надежность работы детали %%1%%-го сорта — %%0.95%%, %%2%%-го — %%0.8%%, бракованной — %%0.5%%. Найти вероятность того, что взятая случайным образом деталь выйдет из строя во время гарантийного срока.

Решение

Обозначим событие %%A%% — событие выхода из строя детали и введем следующие гипотезы:

1. %%H_1%% — взяли деталь %%1%%-го сорта.
2. %%H_2%% — взяли деталь %%2%%-го сорта.
3. %%H_3%% — взяли бракованную деталь.

Причем $$ \begin{array}{l} P(H_1) = \frac{2}{7}, \\ P(H_2) = \frac{4}{7}, \\ P(H_3) = \frac{1}{7}. \end{array} $$

Вероятности выхода из строя деталей при соответствующих гипотезах равны $$ \begin{array}{l} P(A | H_1) = 1 - 0.95 = 0.05, \\ P(A | H_2) = 1 - 0.8 = 0.2, \\ P(A | H_3) = 1 - 0.5 = 0.5. \end{array} $$

Тогда вероятность того, что деталь выйдет из строя будет равна $$ \begin{array}{ll} P(A) & = \sum_{i = 1}^3 P(H_i)P(A|H_i) = \\ & = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2) P(A|H_2) + P(H_3) P (A|H3) = \\ & = \frac{2}{7} 0.05 + \frac{4}{7} 0.2 + \frac{1}{7} 0.5 = 0.2 \end{array} $$

Пример 2

По линии связи посылаются сигналы %%1%% и %%0%% с вероятностями %%p_1 = 0.6, p_0 = 0.4%%. Если посылается сигнал %%1%%, то с вероятностями %%p_{11} = 0.9, p_{10} = 0.1%% принимаются сигналы %%1%% и %%0%% соответсвенно. Если посылается сигнал %%0%%, то с вероятностями %%p_{01} = 0.3, p_{00} = 0.7%% принимаются сигналы %%1%% и %%0%% соответственно. Какова вероятность того, что принимается сигнал %%1%%?

Решение

Пусть событие %%A%% — принятие сигнала %%1%%, тогда, приняв за %%H_1%% посылку сигнала %%1%%, а за %%H_2%% — сигнала %%0%%, получим следующие условные вероятности: $$ \begin{array}{l} P(A|H_1) = 0.9, \\ P(A|H_2) = 0.3. \end{array} $$ Тогда искомая вероятность $$ \begin{array}{ll} P(A) &= P(H_1) P(A|H_1) + P(H_2) P(A | H_2) = \\ &= 0.6 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot 0.3 = 0.54 + 0.12 = 0.66. \end{array} $$