Геометрическая интерпретация условной вероятности

При практическом вычислении условной вероятности события %%A%% при условии, что событие %%B%% произошло, часто удобно трактовать условную вероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространстве %%\Omega%% элементарных исходов, а на новом пространстве %%\Omega_1 = В%% элементарных исходов. Действительно, используя геометрическое определение вероятности, получаем для безусловной и условной вероятностей события %%A%% (на рис. 3.1 заштрихованная область соответствует событию %%AB%%):

$$ \begin{array}{l} P(A) = \frac{S_A}{S_\Omega} = \frac{S_{A\Omega}}{S_\Omega}, \\ P(A | B) = \frac{S_{AB}/ S_\Omega}{S_B/\Omega} = \frac{S_{AB}}{S_B} = \frac{S_{A\Omega_1}}{\Omega_1}. \end{array} $$

Здесь %%S_A%%, %%S_\Omega%% и т.д. обозначают соответственно площади %%A%%, %%\Omega%% и т.д. Таким образом, выражение для %%P(A|B)%% будет совпадать с выражением для %%P(A)%%, вычисленным в соответствии со схемой геометрической вероятности, если исходное пространство %%\Omega%% элементарных исходов заменить новым пространством %%\Omega_1 = B%%.

Пример

Из урны, в которой %%a = 7%% белых и %%b = 3%% черных шаров, наугад без возвращения извлекают два шара. Пусть событие %%A%% состоит в том, что первый извлеченный из урны шар является белым, а %%A_1%% — белым является второй шар. Требуется найти %%P(A_1|A)%%.

Решение 1 (стандартное)

В соответствии с определением условной вероятности имеем (опуская пояснения): $$ P(A_1 | A) = \frac{P(A A_1)}{P(A)} = \frac{C^2_7 / C^2_{10}}{C^1_7 / C^1_{10}} = \frac{21/45}{7/10} = \frac{2}{3}. $$

Решение 2

Перейдем к новому пространству %%\Omega_1%% элементарных исходов. Так как событие %%A%% произошло, то это означает, что в новом пространстве элементарных исходов будет всего равновозможных исходов $$ N_{\Omega_1} = a + b - 1 = 9, $$ а событию %%A_1%% благоприятствует при этом $$ N_{A_1} = a - 1 = 6, $$ исходов. Следовательно $$ P(A_1 | A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}. $$