Геометрическая интерпретация условной вероятности

При практическом вычислении условной вероятности события $A$ при условии, что событие $B$ произошло, часто удобно трактовать условную вероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространстве $\Omega$ элементарных исходов, а на новом пространстве $\Omega_1 = В$ элементарных исходов. Действительно, используя геометрическое определение вероятности, получаем для безусловной и условной вероятностей события $A$ (на рис. 3.1 заштрихованная область соответствует событию $AB$):

$$\begin{array}{l} P(A) = \frac{S_A}{S_\Omega} = \frac{S_{A\Omega}}{S_\Omega}, \\ P(A | B) = \frac{S_{AB}/ S_\Omega}{S_B/\Omega} = \frac{S_{AB}}{S_B} = \frac{S_{A\Omega_1}}{\Omega_1}. \end{array}$$

Здесь $S_A$, $S_\Omega$ и т.д. обозначают соответственно площади $A$, $\Omega$ и т.д. Таким образом, выражение для $P(A|B)$ будет совпадать с выражением для $P(A)$, вычисленным в соответствии со схемой геометрической вероятности, если исходное пространство $\Omega$ элементарных исходов заменить новым пространством $\Omega_1 = B$.

Пример

Из урны, в которой $a = 7$ белых и $b = 3$ черных шаров, наугад без возвращения извлекают два шара. Пусть событие $A$ состоит в том, что первый извлеченный из урны шар является белым, а $A_1$ — белым является второй шар. Требуется найти $P(A_1|A)$.

Решение 1 (стандартное)

В соответствии с определением условной вероятности имеем (опуская пояснения): $$P(A_1 | A) = \frac{P(A A_1)}{P(A)} = \frac{C^2_7 / C^2_{10}}{C^1_7 / C^1_{10}} = \frac{21/45}{7/10} = \frac{2}{3}.$$

Решение 2

Перейдем к новому пространству $\Omega_1$ элементарных исходов. Так как событие $A$ произошло, то это означает, что в новом пространстве элементарных исходов будет всего равновозможных исходов $$N_{\Omega_1} = a + b - 1 = 9,$$ а событию $A_1$ благоприятствует при этом $$N_{A_1} = a - 1 = 6,$$ исходов. Следовательно $$P(A_1 | A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.$$