Решение типовых примеров

Пример 1

Одновременно бросают две игральные кости (белую и черную). Рассмотрим следующие события: %%A%% — на белой кости выпало более двух очков; %%B%% — в сумме выпало четное число очков; %%C%% — в сумме выпало менее десяти очков.

Вычислим условные вероятности %%P(A|B)%%, %%P(B|A)%%, %%P(A|C)%%, %%P(C|A)%%, %%P(B|C)%% и %%P(C|B)%% и определим, какие из событий %%A%%, %%B%% и %%C%% являются независимыми.

Решение

Используя классическое определение вероятности, нетрудно посчитать, что $$ \begin{array}{lll} P(A) = \frac{2}{3},& P(B) = \frac{1}{2},& P(C) = \frac{5}{6},\\ P(AB) = \frac{1}{3},& P(AC) = \frac{1}{2}, & P(BC) = \frac{7}{18}. \end{array} $$ Поэтому $$ \begin{array}{ll} P(A|B) = \frac{1}{3}:\frac{1}{2} = \frac{2}{3}, &P(B|A) = \frac{1}{3} : \frac{2}{3} = \frac{1}{2}\\ P(A|C) = \frac{3}{5},& P(C|A) = \frac{3}{4}\\ P(B|C) = \frac{7}{15},& P(C|B) = \frac{7}{9} \end{array} $$ Отсюда следует, что события %%A%% и %%B%% являются независимыми (т.к. %%P(A) = P(A|B)%% и %%P(B) = P(B|A)%%), а события %%A%% и %%C%%, %%B%% и %%C%% — зависимые. Следовательно, события %%A%%, %%B%% и %%C%% не являются независимыми в совокупности.

Пример 2

Каждая буква слова «МАТЕМАТИКА» написана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекают четыре карточки. Найдем вероятность события %%A%% — получить слово «МАТ»?

Решение

Пусть %%A_1, A_2%% и %%A_3%% — события, состоящие в последовательном извлечении букв «М», «А» и «Т». Тогда соответствующие вероятности равны: $$ \begin{array}{ll} P(A_1) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}, & P(A_2|A_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3},& P(A_3|A_2A_1) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. \end{array} $$ Тогда, по формуле умножения вероятностей, получаем $$ P(A) = P(A_1)P(A_2|A_1) P(A_3|A_2A_1) = \frac{1}{60} \approx 0.017. $$

Пример 3

Обнаружение воздушной цели проводится независимо двумя радиолокационными станциями. Вероятность %%P(A)%% обнаружения цели первой станцией равна %%0.7%%. Вероятность %%P(B)%% обнаружения цели второй станцией равна %%0.8%%. Определим вероятность %%P(C)%% того, что цель будет обнаружена хотя бы одной станцией.

Решение 1

Для решения данной задачи можно выделить следующую полную группу событий: %%P(C_1)%% — цель не обнаружена ни одной из станций, %%P(C)%% — цель обнаружена хотя бы одной станцией, причем $$ P(C_1) + P(C) = 1 \Rightarrow P(C) = 1 - P(C_1). $$

Событие %%C_1%% — можно представить в виде произведения двух событий: первая станция не обнаружила цель %%(\overline{A})%% и вторая станция не обнаружила цель %%(\overline{B})%% — тогда, учитывая что события %%A%% и %%B%% независимы, получаем $$ P(C_1) = P(\overline{A})P(\overline{B}) = (1 - 0.7)(1 - 0.8) = 0.06. $$

Тогда вероятность искомого события равна $$ P(C) = 1 - P(C_1) = 1 - 0.06 = 0.94. $$

Решение 2

Т.к. события %%A%% и %%B%% являются независимыми, то по формуле умножения вероятностей для независимых событий вероятность события %%AB%% (цель обнаружена обеими станциями) равна: $$ P(AB) = P(A)P(B) = 0.7 \cdot 0.8 = 0.56. $$

Значит, в силу теоремы сложения вероятностей $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94. $$

Пример 4

В поступивших на склад трех партиях деталей годные составляют %%89\%%%, %%92\%%% и %%97\%%% соответственно, а количества деталей в партиях относятся как %%1:2:3%%. Ответим на два вопроса.

1. Чему равна вероятность того, что случайно выбранная со склада деталь окажется негодной?
2. Пусть известно, что случайно выбранная деталь оказалась негодной. Найдем вероятности того, что она принадлежит первой, второй и третьей партиям.

Решение

Обозначим %%H_1, H_2%% и %%H_3%% события, состоящие в том, что деталь принадлежит первой, второй и третьей партиям соответственно. Поскольку эти события попарно несовместные и образуют полную группу событий, то они являются гипотезами, причем, $$ \begin{array}{lll} P(H_1) = \frac{1}{6},& P(H_2) = \frac{2}{6}, & P(H_3) = \frac{3}{6}. \end{array} $$

1. Пусть %%A%% — выбранная деталь оказалась негодной, причем условные вероятности события %%A%% равны: $$ \begin{array}{lll} P(A|H_1) = 1 - 0.89 = 0.11,& P(A|H_2) = 0.08, & P(A|H_3) = 0.03. \end{array} $$ Тогда по формуле полной вероятности найдем $$ P(A) = 0.11 \frac{1}{6} + 0.08 \frac{2}{6} + 0.03 \frac{3}{6} = \frac{0.36}{6} = 0.06. $$
2. Вероятности того, что негодная деталь принадлежит первой, второй и третьей партиям, определим, используя формулу Байеса (округляя до сотых): $$ \begin{array}{lll} P(H_1|A) = \frac{\frac{1}{6} 0.11}{0.06} \approx 0.31,\\ P(H_2|A) = \frac{\frac{2}{6} 0.08}{0.06} \approx 0.44,\\ P(H_3|A) = \frac{\frac{3}{6} 0.03}{0.06} = 0.25. \end{array} $$