Предположим сначала, что мы находимся в рамках классической схемы. Пусть событиям %%A%% и %%B%% благоприятствуют %%N_A%% и %%N_B%% элементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии %%B%%. Поскольку событие %%B%% произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из %%N_B%% элементарных исходов, составляющих событие %%B%%. Значит, теперь уже при определении степени возможности события %%A%% необходимо выбирать только из %%N_B%% возможных исходов, причем событию %%A%% благоприятствуют %%N_{AB}%% исходов, при которых происходят и событие %%A%%, и событие %%B%%, или, другими словами, происходит событие %%AB%%. При этом по-прежнему будем считать все %%N_B%% входящих в событие %%B%% исходов равновероятными. Поэтому условную вероятность %%P(A|B)%% события %%A%% при условии события %%B%% в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение числа %%N_{AB}%% исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий %%А%% и %%В%%, к числу %%N_B%% исходов, благоприятствующих событию %%B%%, т.е. $$ P(A|B) = \frac{N_{AB}}{N_B}. $$ Если теперь поделить числитель и знаменатель полученного выражения на общее число %%N%% элементарных исходов, то придем к формуле $$ P(A|B) = \frac{N_{AB} / N}{N_B / N} = \frac{P(AB)}{P(B)}. $$
К аналогичной формуле можно легко прийти и при статистическом определении вероятности.
Условной вероятностью события %%A%% при условии (наступлении) события %%B%% называют отношение вероятности пересечения событий %%A%% и %%B%% к вероятности события %%B%%: $$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}. $$
В связи с появлением термина «условная вероятность», вероятность события будем называть также безусловной вероятностью события.
Условная вероятность %%P(A|B)%% обладает всеми свойствами безусловной вероятности %%P(A)%%, т.е. $$ P(\Omega|B) = \frac{P(\Omega B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1, $$ а также для попарно непересекающихся событий %%A_1, A_2, \ldots, A_n%% $$ P(A_1 + A_2 + \ldots + A_n | B) = P(A_1|B) + P(A_2|B) + \ldots + P(A_n|B). $$
Рассмотрим опыт с однократным бросанием игральной кости, но не обычной, а с раскрашенными гранями: грани с цифрами %%1%%, %%3%% и %%6%% окрашены красным, а грани с цифрами %%2%%, %%4%% и %%5%% — белым цветом. Введем события: %%A_1%% — выпадение нечетного числа числа очков; %%A_2%% — выпадение четного числа очков; %%B%% — появление грани красного цвета.
Интуитивно ясно, что если произошло событие %%B%%, то условная вероятность события %%A_1%% больше, чем условная вероятность события %%A_2%%, поскольку на красных гранях нечетных чисел в два раза больше, чем четных. Заметим, что безусловные вероятности событий %%A_1%% и %%A_2%% при этом одинаковы и равны, очевидно, %%1/2%%.
Найдем условные вероятности событий %%A_1%% и %%A_2%% при условии события %%B%%. Очевидно, что $$ \begin{array}{l} P(A_1 B) = \frac{N_{A_1 B}}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \\ P(A_2 B) = \frac{N_{A_2 B}}{N} = \frac{1}{6} = \frac{1}{6}, \\ P(B) = \frac{N_B}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \end{array} $$ Следовательно, по определению условной вероятности, имеем: $$ \begin{array}{l} P(A_1 | B) = \frac{P(A_1 B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}, \\ P(A_2 | B) = \frac{P(A_2 B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}. \end{array} $$
| Условная вероятность | Геометрическая интерпретация условной вероятности |