Определение условной вероятности

Предположим сначала, что мы находимся в рамках классической схемы. Пусть событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $N_A$ и $N_B$ элементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии $B$. Поскольку событие $B$ произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из $N_B$ элементарных исходов, составляющих событие $B$. Значит, теперь уже при определении степени возможности события $A$ необходимо выбирать только из $N_B$ возможных исходов, причем событию $A$ благоприятствуют $N_{AB}$ исходов, при которых происходят и событие $A$, и событие $B$, или, другими словами, происходит событие $AB$. При этом по-прежнему будем считать все $N_B$ входящих в событие $B$ исходов равновероятными. Поэтому условную вероятность $P(A|B)$ события $A$ при условии события $B$ в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение числа $N_{AB}$ исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий $А$ и $В$, к числу $N_B$ исходов, благоприятствующих событию $B$, т.е. $$P(A|B) = \frac{N_{AB}}{N_B}.$$ Если теперь поделить числитель и знаменатель полученного выражения на общее число $N$ элементарных исходов, то придем к формуле $$P(A|B) = \frac{N_{AB} / N}{N_B / N} = \frac{P(AB)}{P(B)}.$$

К аналогичной формуле можно легко прийти и при статистическом определении вероятности.

Определение

Условной вероятностью события $A$ при условии (наступлении) события $B$ называют отношение вероятности пересечения событий $A$ и $B$ к вероятности события $B$: $$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}.$$

В связи с появлением термина «условная вероятность», вероятность события будем называть также безусловной вероятностью события.

Теорема (без доказательства)

Условная вероятность $P(A|B)$ обладает всеми свойствами безусловной вероятности $P(A)$, т.е. $$P(\Omega|B) = \frac{P(\Omega B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1,$$ а также для попарно непересекающихся событий $A_1, A_2, \ldots, A_n$ $$P(A_1 + A_2 + \ldots + A_n | B) = P(A_1|B) + P(A_2|B) + \ldots + P(A_n|B).$$

Пример

Рассмотрим опыт с однократным бросанием игральной кости, но не обычной, а с раскрашенными гранями: грани с цифрами $1$, $3$ и $6$ окрашены красным, а грани с цифрами $2$, $4$ и $5$ — белым цветом. Введем события: $A_1$ — выпадение нечетного числа числа очков; $A_2$ — выпадение четного числа очков; $B$ — появление грани красного цвета.

Интуитивно ясно, что если произошло событие $B$, то условная вероятность события $A_1$ больше, чем условная вероятность события $A_2$, поскольку на красных гранях нечетных чисел в два раза больше, чем четных. Заметим, что безусловные вероятности событий $A_1$ и $A_2$ при этом одинаковы и равны, очевидно, $1/2$.

Найдем условные вероятности событий $A_1$ и $A_2$ при условии события $B$. Очевидно, что $$\begin{array}{l} P(A_1 B) = \frac{N_{A_1 B}}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \\ P(A_2 B) = \frac{N_{A_2 B}}{N} = \frac{1}{6} = \frac{1}{6}, \\ P(B) = \frac{N_B}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \end{array}$$ Следовательно, по определению условной вероятности, имеем: $$\begin{array}{l} P(A_1 | B) = \frac{P(A_1 B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}, \\ P(A_2 | B) = \frac{P(A_2 B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}. \end{array}$$