Формула Байеса

Пусть событие %%A%% может произойти с одним из событий %%H_1, H_2, \ldots, H_n%%, образующих полную группу попарно несовместных событий, т.е. гипотез.

Предположим, что известны вероятности гипотез %%P(H_1), P(H_2),\ldots, P(H_n) (P(H_i) > 0, i = \overline{1,n})%% и что в результате опыта событие %%A%% произошло, т.е. получена дополнительная информация. Спрашивается, как «изменятся» вероятности гипотез, т.е. чему будут равны условные вероятности %%P(H_1|A), P(H_2|A), \ldots, P(H_n|A)%%, если известны также условные вероятности %%P(A|H_1), P(A|H_2), \ldots, P(A|H_n)%% события %%A%%? Для ответа на этот вопрос используют следующую формулу: $$ P(H_i|A) = \frac{P(H_i)P(H_i|A)}{P(A)} = \frac{P(H_i)P(H_i|A)}{\sum_{i=1}^n P(H_i) P(A|H_i)}, $$ называемой, формулой Байеса.

Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятия решений и их приложениях. Заметим, что вероятности %%P(H_1), P(H_2), \ldots, P(H_n)%% обычно называют априорными (т.е. полученными до опыта), а условные вероятности %%P(H_1|A), P(H_2|A), \ldots, P(H_n|A)%% — апостериорными (т.е. полученными после опыта).

Пример

Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила %%15%% счетов, вторая — %%10%%, третья — %%25%%. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: %%0.9%%, %%0.8%%, %%0.85%%. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

Решение

Пусть %%H_1, H_2, H_3%% — событие выбора счета первой, второй и третьей организации, а событие %%A%% — выбран правильный счет. Тогда вероятности событий будут: $$ \begin{array}{l} P(H_1) = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0.3, \\ P(H_2) = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 0.2, \\ P(H_3) = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} = 0.5. \end{array} $$

По формуле полной вероятности, вероятность выбора правильного счета %%P(A)%% равна: $$ \begin{array}{ll} P(A) & = P(H_1)P(A | H_1) + P(H_2) P(A | H_2) + P(H_3) + P(A | H_3) = \\ & = 0.3 \cdot 0.9 + 0.2 \cdot 0.8 + 0.5 \cdot 0.85 = 0.885. \end{array} $$

Тогда по формуле Байеса находим вероятность %%H_2%%: $$ P(H_2) = \frac{P(A|H_2) P(H_2)}{P(A)} = \frac{0.2 \cdot 0.8}{0.885} \approx 0.19. $$