Пусть событие A может произойти с одним из событий H1,H2,…,Hn, образующих полную группу попарно несовместных событий, т.е. гипотез.
Предположим, что известны вероятности гипотез P(H1),P(H2),…,P(Hn)(P(Hi)>0,i=¯1,n) и что в результате опыта событие A произошло, т.е. получена дополнительная информация. Спрашивается, как «изменятся» вероятности гипотез, т.е. чему будут равны условные вероятности P(H1|A),P(H2|A),…,P(Hn|A), если известны также условные вероятности P(A|H1),P(A|H2),…,P(A|Hn) события A? Для ответа на этот вопрос используют следующую формулу: P(Hi|A)=P(Hi)P(Hi|A)P(A)=P(Hi)P(Hi|A)∑ni=1P(Hi)P(A|Hi), называемой, формулой Байеса.
Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятия решений и их приложениях. Заметим, что вероятности P(H1),P(H2),…,P(Hn) обычно называют априорными (т.е. полученными до опыта), а условные вероятности P(H1|A),P(H2|A),…,P(Hn|A) — апостериорными (т.е. полученными после опыта).
Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0.9, 0.8, 0.85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.
Пусть H1,H2,H3 — событие выбора счета первой, второй и третьей организации, а событие A — выбран правильный счет. Тогда вероятности событий будут: P(H1)=1550=310=0.3,P(H2)=1050=15=0.2,P(H3)=2550=12=0.5.
По формуле полной вероятности, вероятность выбора правильного счета P(A) равна: P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)+P(A|H3)==0.3⋅0.9+0.2⋅0.8+0.5⋅0.85=0.885.
Тогда по формуле Байеса находим вероятность H2: P(H2)=P(A|H2)P(H2)P(A)=0.2⋅0.80.885≈0.19.
Формула полной вероятности | Решение типовых примеров |