Борьба за рынки

Пример 1.6. Борьба за рынки. Две компании, производящие одну и ту же продукцию, конкурируют на двух рынках сбыта. Каждая из них может распределить свою продукцию между рынками в любых долях. Считается, что компания, сумевшая создать на рынке долевое превосходство своей продукции, получит доход, пропорциональный разности долей своей и конкурентной продукции. В противном случае она несет убыток, подсчитываемый по то же правилу. Спрашивается, как каждая компания должна распределять свою продукцию между рынками, чтобы получить наибольший доход.

Для построения математической модели ситуации обозначим через %%x%% и %%y%% доли продукции, направляемые компаниями 1 и 2 соответственно на первый рынок (рис.1.2). Тогда доход %%H_{11}(x, y)%% компании 1 на первом рынке равен $$ H_{11}(x, y) = k_{11}(x - y), $$ где %%k_{11}%% — положительный коэффициент. Точно так же доход %%H_{12}(x, y)%% компании 1 на втором рынке составит $$ H_{12}(x, y) = k_{12} [(1 - x ) - (1 - y)] = k_{12} ( y - x ). $$ Здесь %%k_{12}%% — вообще говоря, другой (отличный от %%k_{11}%%) положительный коэффициент. Очевидно, при %%x \geq y%% компания на первом рынке имеет доход и на втором – убыток. Если же %%x \leq y%% , то картина противоположная. Общий доход %%H_1(x, y)%% компании на двух рынках будет суммой %%H_{11}(x, y)%% и %%H_{12}(x, y)%%, т.е. $$ H_1(x, y) = ( k_{11} - k_{12}) (x - y). $$ Проводя такие же рассуждения, получим формулу общего дохода второй компании на двух рынках $$ H_2(x, y) = (k_{22} - k_{21}) (x - y), $$ где %%k_{21}%% , %%k_{22}%% – положительные коэффициенты.

Рис.1.2. Схема распределения долей товара между рынками

По смыслу задачи требуется найти такие значения неизвестных %%x%% и %%y%%, которые доставляют максимум функциям доходности $$ \begin{array}{ll} H_1(x, y) = ( k_{11} - k_{12}) (x - y) \to \max,&~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1.13)\\ H_2(x, y) = ( k_{22} - k_{21}) (x - y) \to \max&~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1.14) \end{array} $$ при условиях $$ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1.15) $$

Неравенства (1.15) отражают физический смысл неизвестных. В приведенной игре каждый игрок имеет свою функцию выигрыша и действует независимо от другого. Игра является частным случаем бескоалиционной игры %%n%% лиц.