Задача управления запасами

Пример 1.1. Задача управления запасами. На складе хранится товар, которым обеспечивается сеть магазинов. Товар поступает на склад равными порциями через равные промежутки времени и расходуется с постоянной скоростью так, что к моменту очередного поступления его запасы становятся равными нулю (см. риc.).

Рис. 1.1. Изменение запасов товара на складе во времени

Известны:

$c_1$ — стоимость доставки одной порции товара (руб.),

$c_2$ — стоимость хранения тонны товара в течение недели (руб./(т $\times$ нед.)),

$\tau$ — время между двумя последовательными поступлениями товара (нед.),

$T$ — время обслуживания сети магазинов (плановый период, нед.),

$N$ — необходимое количество товара в течение планового периода (спрос, $т$).

Требуется определить количество товара в порции так, чтобы общие затраты на обеспечение спроса $N$ и хранение товара за время $T$ были минимальными.

Перейдем к математической формулировке задачи. Обозначим через $x$ искомое количество товара в порции (в тоннах). Подсчитаем отдельно затраты на доставку и хранение товара. На покрытие спроса $N$ необходимо $\frac{N}{x}$ доставок товара, затраты на которые (в руб.) составят

$$c_1 \frac{N}{x} ~~~~~~~~~~~~~(1.1)$$

За $\tau$ недель (между двумя последовательными поставками) запасы товара на складе убывают с постоянной скоростью от $x$ $\tau$ до $0$, поэтому средний запас составит $0.5x$ $\tau$.

Действительно, если бы товар не расходовался, то затраты на хранение за $\tau$ недель равнялись бы $c_2x τ$ руб., т.е. были пропорциональны площади $x \tau$ прямоугольника со сторонами $x$ и $\tau$ (см. рис. 1.1). При равномерном расходовании товара затраты пропорциональны площади $0.5x \tau$ прямоугольного треугольника с катетами $x$ и $τ$, которая ровно в два раза меньше площади соответствующего прямоугольника. Следовательно, затраты (в руб.) на хранение товара в течение планового периода равны

$$c_2 (0.5x \tau)\left(\frac{N}{x}\right) ~~~~~~~~~~~ (1.2)$$

Складывая затраты (1.1) и (1.2), получим формулу общих затрат

$$\text{З}(x) = c_1\frac{N}{x} + c_2 (0.5xτ)\left(\frac{N}{x}\right)$$

Поскольку здесь $\tau \left(\frac{N}{x}\right) = T$, то окончательно получим

$$\text{З}(x) = c_1 \frac{N}{x} + 0.5 c_2 T x ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1.3)$$

Итак, математически задача управления запасами заключается в нахождении такого положительного значения неизвестной $x$, при котором функция общих затрат (1.3) имеет минимум. В символической записи

$$\text{З}(x) = c_1\frac{N}{x} + 0.5 c_2 T x \to \min~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1.4)\\ x > 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1.5)$$

Условие (1.4) задачи называют целевым, оно содержит требование (минимизации целевой функции), по которому находится искомое $x$. Условие (1.5), вытекающее из физического смысла неизвестной $x$, есть ограничение на $x$.

Задача управления запасами, содержащая ограничение на неизвестную $x$, относится к классу задач на условный экстремум. Конечно, здесь она предельно упрощена. Существуют более сложные постановки, которые учитывают нерегулярность поставок товара, ограниченную емкость склада и другие факторы. По образному выражению Г. Вагнера задача управления запасами “играет в исследовании операций такую же роль, как законы Ньютона в физике”.