Преследование Шерлока Холмса

Пример 1.4. Преследование Шерлока Холмса. Известный персонаж произведений английского писателя Артура Конан Дойла сыщик Шерлок Холмс оказывается однажды в довольно неприятном положении. Некто профессор Мориарти, подозреваемый Холмсом в совершении преступления, устраивает на него покушение. Шерлок Холмс принимает решение скрыться на время в Европе. Путь из Лондона на континент лежит через портовый город Дувр. Между Лондоном и Дувром есть промежуточная железнодорожная станция Кентербери. Выбрав подходящее время и соблюдая меры предосторожности, Холмс садится на лондонском вокзале в поезд до Дувра. Когда поезд трогается, он видит через окно вагона в толпе на перроне следившего за ним Мориарти. Шерлок Холмс уверен, что Мориарти будет его преследовать, и попытается настичь следующим поездом. Перед ним возникает непростая дилемма: где лучше сойти с поезда, в Дувре или Кентербери, чтобы избежать встречи с Мориарти. Та же дилемма встает и перед профессором Мориарти, едущим за Шерлоком Холмсом на следующем поезде.

Здесь мы сталкиваемся с конфликтной ситуацией, в которой интересы двух участников противоположны. Займемся ее математической формализацией. Для этого нам придется решить довольно деликатный вопрос об оценке жизни Шерлока Холмса. Не вдаваясь в дискуссию, условимся оценить ее в $100$ условных единиц (предоставив, конечно, самому Шерлоку Холмсу решить вопрос об эквиваленте условной единицы).

У каждого участника конфликта есть два способа действия: сойти с поезда в Дувре или в Кентербери. Мы будем обозначать их через $\mathrm{К}$ и $\mathrm{Д}$ соответственно. В теории игр участников конфликтной ситуации называют игроками, а их возможные действия в конфликте — стратегиями. Следовательно, $\mathrm {К}$ и $\mathrm{Д}$ в данном случае — стратегии игроков.

Выбирая свои стратегии независимо, игроки создают в игре четыре возможные ситуации: $\mathrm{КК}$, $\mathrm{КД}$, $\mathrm{ДК}$, $\mathrm{ДД}$. Если считать Шерлока Холмса первым игроком, а профессора Мориарти — вторым, то ситуация $\mathrm{КД}$, например, означает, что Шерлок Холмс сходит с поезда в Кентербери и Мориарти — в Дувре. В этой ситуации Шерлок Холмс считал бы свою жизнь наполовину спасенной, т.е. получил бы в качестве выигрыша $50$ условных единиц. Его выигрыши в остальных ситуациях $\mathrm{КК}$, $\mathrm{ДК}$, $\mathrm{ДД}$ составят соответственно $-100$, $100$, $- 100$ условных единиц. Отрицательный выигрыш трактуется как проигрыш.

Для наглядности удобнее представить выигрыши Шерлока Холмса табл.1.2. По существу она и есть формализованное описание конфликтной ситуации.

Таблица 1.2 Выигрыши Шерлока Холмса

Хотя в таблице указаны только выигрыши первого игрока, выигрыши второго определяются автоматически. Он выигрывает ровно столько, сколько проигрывает первый игрок. Таким образом, независимо от ситуации сумма выигрышей игроков равна нулю.

Задача состоит в нахождении таких стратегий, при которых выигрыш первого игрока максимален и проигрыш второго игрока минимален.

По понятным соображениям приведенная игра называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой выигрышей.