Проблема "двух картошек"

Пример 1.2.

Проблема “двух картошек”. Фирма по переработке картофеля производит три вида продукции: картофельные дольки, кубики и хлопья. Анализ загруженности оборудования и спроса на рынке показывает возможность произвести и сбыть до $1.8$ тонн долек, $1.2$ тонн кубиков и $2.4$ тонн хлопьев. Необходимый для переработки картофель фирма закупает у двух поставщиков. Количество готовой продукции и относительная прибыль (доход от реализации готовой продукции за вычетом стоимости сырья), которые можно получить из одной тонны картофеля каждого поставщика, указаны в таблице ниже.

Исходные данные задачи о “двух картошках”

Требуется определить, какое количество картофеля надо приобрести у каждого поставщика, чтобы обеспечить наибольшую относительную прибыль с учетом возможности сбыта готовой продукции.

Перейдем от содержательного описания ситуации к формализованному. Введем неизвестные $x_1$ и $x_2$ - количество картофеля (в тоннах, $т$), закупаемого у поставщиков 1 и 2 соответственно. Используя три первые строки таблицы, составим балансовые соотношения

$$\begin{array}{ll} 0.2 x_1 + 0.3 x_2 \leq 1.8~~~~~~~~~ \text{(для долек),}\\ 0.2 x_1 + 0.1 x_2 \leq 1.2~~~~~~~~~ \text{(для кубиков),}\\ 0.3 x_1 + 0.3 x_2 \leq 2.4~~~~~~~~~ \text{(для хлопьев).} \end{array}$$

В левой части каждого неравенства записан выход готовой продукции из закупленного картофеля, а в правой части – предельные потребности в продукции на рынке сбыта. Физические размерности сравниваемых величин в балансовых соотношениях одни и те же – $т$. Относительная прибыль $\mathrm{П}$ подсчитывается с помощью последней строки таблицы и в ден. ед. равна $$\mathrm{П} (x_1, x_2) = 5 x_1 + 6 x_2.$$

По смыслу задачи необходимо найти такие значения неизвестных $x_1$ и $x_2$, которые обеспечивают максимальную относительную прибыль $$\mathrm{П} (x_1, x_2) = 5 x_1 + 6 x_2 \to \max~~~~~~~~~~~~~~~~(1.6)$$ и удовлетворяют ограничениям типа неравенства (балансовым соотношениям для долек, кубиков и хлопьев) $$\begin{array}{ll} 0.2 x_1 + 0.3 x_2 \leq 1.8,&~~~~~~~~~~~~~~~~(1.7)\\ 0.2 x_1 + 0.1 x_2 \leq 1.2,&~~~~~~~~~~~~~~~~(1.8)\\ 0.3 x_1 + 0.3 x_2 \leq 2.4,&~~~~~~~~~~~~~~~~(1.9)\\ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0. &~~~~~~~~~~~~~~~~(1.10) \end{array}$$

Условия неотрицательности (1.10) добавлены к балансовым соотношениям (1.7) — (1.9), исходя из физического смысла неизвестных.

Полученная задача называется задачей линейного программирования. Отличительная ее особенность состоит в линейности всех функций, задающих целевое условие (1.6), ограничения (1.7) — (1.9) и условия неотрицательности (1.10).