Производственная задача «места и времени»

Пример 1.3. Производственная задача «места и времени». Компания, располагающая двумя заводами, заключила контракт на изготовление $a$ единиц продукции за определенный промежуток времени. Стоимость изготовления продукции в количествах $x_1$ и $x_2$ на заводах 1 и 2 составляет $x_1^{2/ c_1}$ и $x_2^{2/ c_2}$ ден. ед. соответственно, где $c_1$ и $c_2$ – известные положительные коэффициенты. Требуется распределить заказ на продукцию между заводами так, чтобы он был выполнен, и общая стоимость изготовления продукции была наименьшей.

Математическая постановка задачи достаточно очевидна. В принятых обозначениях общая стоимость $C$ изготовления продукции равна $$C(x_1, x_2) = x_1^{2/c_1} + x_2^{2/c_2},$$ и требование выполнения заказа приводит к условию $x_1 + x_2 = a$. Необходимо найти такие значения неизвестных $x_1$ и $x_2$ , которые доставляют минимум функции $$C(x_1, x_2) = x_1^{2/c_1} + x_2^{2/c_2} \to \min ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1.11)$$ при ограничениях $$x_1 + x_2 = a, x_1 ≥ 0, x_2 \geq 0. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1.12)$$ Неравенства (1.12) отражают физический смысл неизвестных. Целевая функция (1.11) в задаче квадратичная относительно $x_1$ и $x_2$, поэтому ее относят к задачам нелинейного (квадратичного) программирования.