Производственная задача «места и времени»

Пример 1.3. Производственная задача «места и времени». Компания, располагающая двумя заводами, заключила контракт на изготовление %%a%% единиц продукции за определенный промежуток времени. Стоимость изготовления продукции в количествах %%x_1%% и %%x_2%% на заводах 1 и 2 составляет %%x_1^{2/ c_1}%% и %%x_2^{2/ c_2}%% ден. ед. соответственно, где %%c_1%% и %%c_2%% – известные положительные коэффициенты. Требуется распределить заказ на продукцию между заводами так, чтобы он был выполнен, и общая стоимость изготовления продукции была наименьшей.

Математическая постановка задачи достаточно очевидна. В принятых обозначениях общая стоимость %%C%% изготовления продукции равна $$ C(x_1, x_2) = x_1^{2/c_1} + x_2^{2/c_2}, $$ и требование выполнения заказа приводит к условию %%x_1 + x_2 = a%%. Необходимо найти такие значения неизвестных %%x_1%% и %%x_2%% , которые доставляют минимум функции $$ C(x_1, x_2) = x_1^{2/c_1} + x_2^{2/c_2} \to \min ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1.11) $$ при ограничениях $$ x_1 + x_2 = a, x_1 ≥ 0, x_2 \geq 0. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1.12) $$ Неравенства (1.12) отражают физический смысл неизвестных. Целевая функция (1.11) в задаче квадратичная относительно %%x_1%% и %%x_2%%, поэтому ее относят к задачам нелинейного (квадратичного) программирования.