Анализ решения на чувствительность к исходным данным

При построении модели матричной игры в примере 1.4 выигрыши Шерлока Холмса в разных ситуациях были определены равенствами (5.1). По поводу численных значений выигрышей мнения студентов на лекционных занятиях, обычно, разделяются. Выигрыш $a_{21} = 100$ в ситуации, когда Холмс сходит с поезда в Дувре, а Мориарти — в Кентербери, сомнений не вызывает. Как правило, дискуссия разгорается вокруг выигрыша $a_{12} = 50$, (Холмс и Мориарти сходят с поезда в Кентербери и Дувре соответственно). В связи с этим интересно и полезно выяснить влияние элементов матрицы выигрышей (исходных данных) на решение игры, т. е. на оптимальные смешанные стратегии и математическое ожидание выигрыша. Чтобы не усложнять изложение, ограничимся выяснением влияния элемента $a_{12} \equiv a, 0 \leq a \leq 100$, на решение игры $Г_a$ с матрицей выигрышей $$A = \begin{pmatrix} -100 & a\\ 100 & -100 \end{pmatrix}.$$

Используя формулы (5.2), (5.3), найдем наилучшие гарантированные выигрыши игроков $$\begin{array}{ll} v_1 &= \max_i \min_j a_{ij}= \\ &= \max (\min(-100,a), \min (100,-100)) = \\ &= \max (-100,-100)=-100 \\ v_2 &=\min_i \max_j a_{ij}= \\ &= \min (\max(-100,100), \max(a,-100))= \\ &=\min (100,a)=a \end{array}$$

При любом значении $a$ из отрезка $[0, 100]$ наилучшие гарантированные выигрыши различны, следовательно, игра $Г_а$ не имеет решения в чистых стратегиях.

Обозначим через $H_a(p, q)$ функцию средних выигрышей в игре $Г_a$. Используя описанный ранее прием преобразования функции средних выигрышей, получим $$\begin{array}{ll} H_a(p, q) &= - (a + 300) pq + (a + 100) p + 200 q - 100 = \\ &= -(a + 300) \left[p - p(a)\right]\left[q - q(a)\right] + r(a), \end{array}$$ где $p(a)=\frac{200}{a + 300}$, $q(a)=\frac{a+100}{a+300}$, $r(a)=\frac{200(a+100)}{a+300}$

Найдем области значений функций $p(a)$, $q(a)$ при $0 \leq a \leq 100$. Имеем $$\frac{1}{2} \leq p(a)=\frac{200}{a + 300} \leq \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3} \leq q(a)=\frac{a + 100}{a + 300}=1 - p(a) \leq \frac{1}{2}$$

Поскольку области значений функций лежат на отрезке $[0,1]$, решение игры $Г_a$ примет вид $$\begin{array}{ll} x^*(a) = \left(p(a), 1 - p(a)\right), \\ y^*(a) = \left(q(a), 1 - q(a)\right), \\ v = r(a). \end{array} ~~~~~~~~(5.19)$$

Теперь легко оценить уклонение решений (5.18) и (5.19) игр $Г_a = 50$ и $Г_a$. Для первых координат оптимальных стратегий при любых $a$, $0 \leq a \leq 100$, находим $$-\frac{1}{14} = \frac{1}{2} - \frac{4}{7} \leq p(a) - p^* \leq \frac{2}{3} -\frac{4}{7} = \frac{2}{21}\\ -\frac{2}{21} = \frac{1}{32} - \frac{3}{7} \leq q(a) - q^* \leq \frac{1}{2} -\frac{3}{7} = \frac{2}{14}$$

Аналогично оценивается уклонение по вторым координатам оптимальных стратегий. Максимальное по абсолютной величине уклонение не превосходит числа $\varepsilon = \frac{2}{21}$. По отношению к числам $p^* = \frac{4}{7}, q^* = \frac{3}{7}$ максимальное уклонение составляет $$\frac{\varepsilon}{p^*}=\frac{\frac{2}{21}}{\frac{4}{7}}=\frac{7}{42} \approx 0.17,\\ \frac{\varepsilon}{q^*}=\frac{\frac{2}{21}}{\frac{3}{7}}=\frac{14}{63}\approx 0.22,$$ т.е. примерно $17\%$ и $22\%$. Таким образом, при изменении элемента $a_{12} \equiv a$ матрицы выигрышей от $0$ до $100$ координаты оптимальных стратегий (5.19) меняются не более, чем на $22\%$ по отношению к координатам стратегий (5.18).