В теории вероятностей частоты %%x_1, x_2, y_1, y_2%% трактуются как вероятности выбора игроками своих чистых стратегий, а функцию (5.9) средних выигрышей — как математическое ожидание выигрыша. Решение (5.18) показывает, что первый игрок (Шерлок Холмс) должен с вероятностью %%\frac{4}{7}%% выбрать чистую стратегию %%i = 1 %% (сойти с поезда в Кентербери) и с вероятностью %%\frac{3}{7}%% выбрать чистую стратегию %%i = 2%% (сойти с поезда в Дувре). Тогда математическое ожидание его выигрыша составит %%-\frac{100}{7}%%. Второму игроку (профессору Мориарти) предписывается выбирать чистые стратегии %%j = 1%%, %%j = 2%% (сойти с поезда в Кентербери и Дувре) с вероятностями %%\frac{3}{7}%% и %%\frac{4}{7}%% соответственно. В этом случае математическое ожидание его проигрыша тоже будет %%-\frac{100}{7}%%. Если игроки будут следовать указанным рекомендациям, то Шерлок Холмс в «среднем» проиграет примерно %%14\%%% своей «жизни» (его выигрыш %%-\frac{100}{7}%% отрицателен), а профессор Мориарти в «среднем» такую же часть его жизни выиграет (его проигрыш %%-\frac{100}{7}%% отрицателен).
Читатель, внимательно следивший за ходом рассуждений, возможно, заметил некоторую «осторожность» оптимальных рекомендаций. Вместо однозначных указаний игрокам по выбору чистых стратегий регламентируются лишь вероятности их применения. Более того, читатель вполне резонно может возразить, что при однократном розыгрыше игры (который подразумевается) польза от таких рекомендаций невелика. Игроки должны будут указать свои чистые стратегии только один раз, и их выигрыши в сложившейся ситуации могут значительно отличаться от расчетных «средних» выигрышей.
По большому счету читатель прав, и в ответ можно привести лишь два «утешительных» довода. Во-первых, лучше иметь какие-то оценки действий игроков, чем не иметь ничего («синица в руках лучше журавля в небе»). И, во-вторых, существует большое количество матричных игр, которые разыгрываются многократно (например, «орлянка»). В них применение смешанных стратегий вполне оправдано. Более того, средствами теории вероятностей можно показать, что если игроки выбирают свои чистые стратегии с предписанными оптимальными вероятностями, то по мере роста числа сыгранных партий средние арифметические их фактических выигрышей будут приближаться к расчетным наилучшим математическим ожиданиям выигрышей. В этом смысле переход к смешанному расширению матричной игры вполне оправдан.
Отметим, что ключевым моментом в решении задачи было преобразование функции (5.14) средних выигрышей к виду (5.17). Вообще говоря, оно не связано с конкретными числовыми значениями (5.1) матрицы выигрышей и в принципе может быть выполнено для любой матрицы %%A%% указанного типа. Таким образом, мы не только смогли решить конкретный пример, но и получили в распоряжение определенный способ решения матричных игр с матрицами выигрыша размера %%2 \times 2%%.
| Решение игры в смешанных стратегиях | Анализ решения на чувствительность к исходным данным |