Оптимальные стратегии

В матричной игре каждый из игроков выбирает свои стратегии, не имея сведений о действиях другого игрока. Выясним, на какие наилучшие гарантированные выигрыши они могут рассчитывать. Первый игрок, выбрав некоторую стратегию $i$, может получить в качестве выигрыша один из двух элементов $а_{i1}, а_{i2}$ матрицы $A$ в зависимости от того, какую стратегию применит второй игрок. В худшем случае он должен рассчитывать на минимальный выигрыш, т. е. на $$\min_j a_{ij}.$$

В то же время при удачном выборе стратегии $i = i^*$ первый игрок может получить максимальный выигрыш из минимальных: $$v_1 = \min_j a_{i^*j} = \max_i \min_j a_{ij} ~~~~~~~(5.2)$$

Второй игрок рассуждает сходным образом. При выборе стратегии $j$ его максимальный проигрыш из двух возможных $a_{1j}$, $a_{2j}$ равен $$\max_i a_{ij}.$$

Если выбор стратегии $j = j^*$ оказался удачным, то он может рассчитывать на минимальный проигрыш из максимальных: $$v_2 = \max_i a_{ij^*} = \min_j \max_i a_{ij} ~~~~~~~ (5.3)$$

Формулы (5.2), (5.3) определяют наилучшие гарантированные выигрыши игроков. Если они совпадают, то их общее значение можно считать приемлемым для игроков компромиссом, а соответствующие стратегии $i^*, j^*$ — оптимальными стратегиями.

Непосредственные вычисления по формулам (5.2), (5.3) с использованием (5.1) дают $$\begin{array}{ll} v_1 &= \max_i \min_j a_{ij} =\\ &= \max \left\{\min\{a_{11}, a_{12}\}, \min\{a_{21}, a_{22}\}\right\} = \\ &= \max \{ -100, -100\} = -100\\ v_2 &= \min_j \max_i a_{ij} =\\ &= \min \left\{\max\{a_{11}, a_{21}\}, \max\{a_{12}, a_{22}\}\right\} = \\ &= \min \{ 100, 50\} = 50 \end{array}$$

Здесь наилучшие гарантированные выигрыши не равны и оптимальных стратегий не существует.

Причина отсутствия оптимальных стратегий кроется, очевидно, в их определении.

Попробуем изменить определение оптимальных стратегий, не упуская из вида игрового смысла задачи и целей игроков.