Смешанное расширение игры

Допустим, игроки мысленно разыгрывают игру $n$ раз и решают ориентироваться на те стратегии, которые приносят наилучшие средние выигрыши. Более точно, предположим, что за $n$ партий первый игрок выбрал стратегии $i = 1$, $i = 2$ соответственно $m_1$ и $m_2$ раз, и второй игрок стратегии $j = 1$, $j = 2$ — соответственно $n_1$ и $n_2$ раз. По предположению

$$m_1 + m_2 = n, ~~ n_1 + n_2 = n.~~~~~~~~~~(5.4)$$

Подсчитаем средний выигрыш первого игрока за $n$ партий. Если первый игрок во всех партиях использует стратегию $i = 1$, то его общий выигрыш составит $a_{11}n_1 + a_{12}n_2$. При этом средний выигрыш за одну партию равен $$\frac{(a_{11}n_1 + a_{12}n_2)}{n}$$ и за $m_1$ партий $$\frac{m_1(a_{11}n_1 + a_{12}n_2)}{n}.~~~~~~~~~~~~~ (5.5)$$

Точно так же выигрыш первого игрока за $m_2$ партий составит $$\frac{m_2(a_{21}n_1 + a_{22}n_2)}{n}.~~~~~~~~~~~~~(5.6)$$

Суммируя выигрыши (5.5), (5.6), получим общий выигрыш $$\frac{m_1(a_{11}n_1 + a_{12}n_2)}{n} + \frac{m_2(a_{21}n_1 + a_{22}n_2)}{n}$$ и искомый средний выигрыш $$H = \frac{m_1(a_{11}n_1 + a_{12}n_2)}{n_2} + \frac{m_2(a_{21}n_1 + a_{22}n_2)}{n_2} ~~~~~~~~(5.7)$$ первого игрока за $n$ партий.

Обозначим через $$x_1 = \frac{m_1}{n}, x_2 = \frac{m_2}{ n}, y_1 = \frac{n_1}{ n}, y_2 = \frac{n_2}{ n} ,~~~~~~~~~~(5.8)$$ частоты выбора «чистых» стратегий $i = 1$, $i = 2$, $j = 1$, $j = 2$ соответственно. Тогда формула (5.7) запишется в виде $$H(x_1, x_2, y_1, y_2) = a_{11}x_1y_1 + a_{12}x_1y_2 + a_{21}x_2y_1 + a_{22}x_2y_2.~~~~(5.9)$$

Непосредственно из равенств (5.4) и определения (5.8) следует $$\begin{array}{ll} x_1 + x_2 = 1, x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, &~~~~~~ (5.10)\\ y_1 + y_2 = 1, y_1 \geq 0, y_2 \geq 0. &~~~~~~ (5.11) \end{array}$$

Точки $x = (x_1, x_2)$ и $y = (y_1, y_2)$, отвечающие условиями (5.10) и (5.11), назовем смешанными стратегиями первого и второго игрока. Множества смешанных стратегий обозначим $X$ и $Y$.

Игру $Г$, заданную тройкой $X, Y, H$, называют смешанным расширением матричной игры. Легко видеть, что, смешанное расширение однозначно строится по матрице выигрышей $A$.

Координатами (5.8) смешанных стратегий являются рациональные числа. Чтобы обеспечить разрешимость игры $Г$, определим эти координаты на более широком множестве всех действительных чисел, удовлетворяющих условиям (5.10), (5.11). Тогда множествами смешанных стратегий $X, Y$ станут отрезки прямых на координатных плоскостях переменных $x_1, x_2$ и $y_1, y_2,$ и функция $$H(x, y) \equiv H(x_1, x_2, y_1, y_2)$$ естественным образом продолжится все действительные точки отрезков. Смешанные стратегии и значения функции $H(x, y)$ по-прежнему будем трактовать как «частоты» выбора чистых стратегий и как «средние» выигрыши.

Смешанные стратегии $x^*, y^*$ назовем оптимальными в игре $Г$, если для любых стратегий $x$, $y$ выполнены неравенства $$H (x, y^*) \leq H (x^*, x^*) \leq Н (x^*, y). ~~~~~~~(5.12)$$

Левое неравенство (5.12) показывает, что стратегия $x = x^*$ в ситуациях $(x, y^*)$ обеспечивает первому игроку наибольший «средний» выигрыш $H(x^*, y^*)$. Правое неравенство означает, что в ситуациях $(x^*, y)$ стратегия $y = y^*$ гарантирует второму игроку минимальный проигрыш $H(x^*, y^*)$. В этом смысле стратегии $x^*, y^*$ являются для игроков наилучшими.