Решение игры в смешанных стратегиях

Из определения (5.12) непосредственно не следует существование оптимальных смешанных стратегий. Для их нахождения параметризуем точки множеств $X$, $Y$, полагая на основании (5.10), (5.11) $$\begin{array}{l} x = (x_1, x_2) = (p, 1 - p), 0 \leq p \leq 1;\\ y = (y_1, y_2) = (q, 1 - q), 0 \leq q \leq 1.&~~~~~(5.13) \end{array}$$

Подставим элементы (5.1) матрицы выигрышей и стратегии (5.13) в формулу (5.9). После очевидных преобразований получим $$H (p, 1 - p, q, 1 - q) \equiv H_1(p, q) = -350 p q + 150 p + 200 q - 100.~~~~~~ (5.14)$$

Преобразуем теперь функцию (5.14) к виду $$H_1(p, q) = -350 (p - a)(q - b) + c,~~~~~~~~~~~~~~~~~(5.15)$$ где $a, b, c$ — некоторые постоянные. Раскрывая скобки, имеем $$H_1(p, q) = -350 pq + 350 bp + 350 aq – 350 ab + c.~~~~~~(5.16)$$

Функции (5.14) и (5.16) будут тождественно совпадать при любых $0 \leq p \leq 1, 0 \leq q \leq 1$ в том и только в том случае, если выполнены равенства $$\begin{array}{l} 350 a = 200,\\ 350 b = 150,\\ – 350 ab + c = -100. \end{array}$$

Отсюда последовательно находим $a = \frac{4}{7}$, $b = \frac{3}{7}$, $c = -\frac{100}{7}$. В результате формула (5.15) примет вид $$H_1(p, q) = -350 \left(p - \frac{4}{7}\right) \left(q - \frac{3}{7}\right) - \frac{100}{7}.~~~~~~~~~~(5.17)$$

В силу однозначного соответствия (5.13) между смешанными стратегиями $x$, $y$ и числами $p$, $q$ можно считать, что сами числа $p$, $q$ из отрезков $0 \leq p \leq 1$, $0 \leq q \leq 1$ являются «стратегиями» игроков и соответствующая им функция средних выигрышей задана формулой (5.17). В такой трактовке первому игроку целесообразно выбрать число $p^* = \frac{4}{7}$, которое обеспечит ему средний выигрыш $-\frac{100}{7}$ при любой «стратегии» $q$ второго игрока. Из тех же соображений число $q^* = \frac{3}{7}$ предпочтительнее для второго игрока, поскольку оно гарантирует ему средний проигрыш $-\frac{100}{7}$ при любой «стратегии» $p$ первого игрока. Таким образом, есть основания считать стратегии $$\begin{array}{ll} x^* = (p^*, 1 – p^*) = \left(\frac{4}{7}, \frac{3}{7}\right), \\ y^* = (q^*, 1 – q^*) = \left(\frac{3}{7}, \frac{4}{7}\right) &~~~~~~~~~~ (5.18) \end{array}$$ оптимальными в игре $Г$. В самом деле, на основании (5.14) и (5.17) можем записать $$H (p, 1- p, q, 1 - q) = -350 \left(p - \frac{4}{7}\right) \left(q - \frac{3}{7}\right) – \frac{100}{7}$$ или в обозначениях (5.13) $$H(x_1, x_2, y_1, y_2) = -350 \left(x_1 – \frac{4}{7}\right) \left(y_1 – \frac{3}{7}\right) – \frac{100}{7}.$$

Отсюда с учетом (5.18) находим $$\begin{array}{l} H(x, y^*) = -\frac{100}{7},\\ H(x^*, y^*) = -\frac{100}{7},\\ H(x^*, y) = -\frac{100}{7} \end{array}$$

для любых стратегий $x$, $y$ . Следовательно, стратегии $x^*, y^*$ удовлетворяют критерию оптимальности (5.12).