Свойства операций над событиями
Приведем основные свойства операций над событиями, которые напоминают свойства операций над множествами. Справедливость этих свойств легко проверить с помощью диаграмм Эйлера — Венна.
- Коммутативность суммы и произведения
$$
A \cup B = B \cup A, \\
AB = BA.
$$
- Ассоциативность суммы и произведения
$$
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C), \\
(AB)C = A(BC).
$$
- Дистрибутивность относительно сложения
$$
(A \cup B)C = AC \cup BC.
$$
- Дистрибутивность относительно умножения (не выполняется для чисел)
$$
AB \cup C = (A \cup C)(B \cup C).
$$
- Включение %%A%% в %%B%% влечет за собой включение %%\overline{B}%% в %%\overline{A}%%.
- Закон двойного дополнения
$$
\overline{\overline{A}} = A
$$
- Закон идемпотентности
$$
A \cup A = AA = A.
$$
- Законы де Моргана
$$
\overline{A \cup B} = \overline{A}~\overline{B}, ~~~~~~~ \overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}.
$$
Законы де Моргана верны для любого конечного числа событий:
$$
\begin{array}{l}
\overline{A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n} = \overline{A_1}~\overline{A_2}\ldots\overline{A_n} \\
\overline{A_1 A_2 \ldots A_n} = \overline{A_1} \cup \overline{A_2} \cup \ldots \cup \overline{A_n}
\end{array}
$$