Операции над событиями

Часто бывает полезно наглядно представить события в виде диаграммы Эйлера — Венна. Изобразим все пространство элементарных исходов прямоугольником (рис. 1). При этом, каждый элементарный исход $\omega$ соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие $A$ — некоторому множеству точек, этого прямоугольника.

Рассмотрим теперь операции над событиями, которые совпадают с операциями над множествами.

Определение

Пересечением (произведением) двух событий $A$ и $B$ называют событие, обозначаемое $A \cap B$ или $AB$, происходящее тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события $A$ и $B$, т.е. событие, состоящее из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и событию $A$, и событию $B$.

События $A$ и $B$ называются несовместными, или непересекающимися, если их пересечение является невозможным событием, т.е. если $A \cap B = \varnothing$.

В противном случае события называют совместными, или пересекающимися.

Определение

Объединением (суммой) двух событий $A$ и $B$ называют событие, обозначаемое $A \cup B$, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий $A$ или $B$, т.е. событие состоит из элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$.

Если события $A$ и $B$ несовместимы, то для обозначения могут использововать символ «$+$».

Например, поскольку невозможное событие $\varnothing$ несовместно с любым событием $A$, то $$\varnothing \cup A = \varnothing + A = A.$$

Аналогично определяют понятия произведения и суммы событий для любого конечного числа событий и даже для бесконечных последовательностей событий. Так, событие $$A_1 A_2 \ldots A_n = \bigcap_{i = 1}^n A_i$$ состоит из элементарных исходов, принадлежащих всем событиям $A_i, i = \overline{1,n}$, а событие $$A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \bigcup_{i = 1}^n A_i$$ состоит из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий $A_i, i = \overline{1,n}$.

В частности, события $A_1, A_2, \ldots, A_n$ называют попарно несовместными, если $$A_i A_j = \varnothing$$ для любых $i,j = \overline{1,n}, i \neq j$, и несовместными в совокупности, если $$A_1 A_2 \ldots A_n = \varnothing.$$

Определение

Разностью двух событий $A$ и $B$ называют событие, обозначаемое $A \setminus B$, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие $A$ и не происходит событие $B$, т.е. состоит из тех элементарных исходов, которые принадлежат событию $A$ и не принадлежат событию $B$

Определение

Дополнением события $A$ называют новое событие, обозначаемое $\overline{A}$, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$. Так событие $\overline{A}$ можно записать в виде: $$\overline{A} = \Omega \setminus A.$$ Событие $\overline{A}$ называют событием, противоположным событию $A$.

Определение

Событие $A$ включено в событие $B$, если появление за собой события $A$ обязательно влечет за собой наступление события $B$, или каждый элементарный исход события $A$ принадлежит и событию $B$.

Приоритеты операций

Если некоторое событие записано в виде нескольких операций над различными событиями, то сначала выполняется операция дополнения, затем умножения, и, наконец, сложение и вычитание (слева направо).

Скобки могут увеличить приоритет любой из операций.

Пример

Рассмотрим устройство из $n$ элементов. Элементы соединены последовательно, если устройство прекращает функционировать при отказе любого из элементов, и соединены параллельно, если прекращение функционирования наступает только при отказе $n$ элементов (рис. 1а, 1б соответственно).

Обозначим $A$ событие, означающее отказ системы, а $A_i$ — отказ $i$-го элемента ($i = \overline{1,n}$). Тогда для последовательного соединения событие $A$ представимо в виде: $$A = A_1 \cup A_2 \cup \ldots A_n,$$ а для параллельного соединения $$A = A_1 \cap A_2 \cap \ldots A_n.$$

Очевидно, что при параллельном соединении элементов событие $A$ включено в каждое из событий $A_i, i = \overline{1,n}$, а при последовательном соединении любое событие $A_i, i = \overline{1,n}$ включено в событие $A$.