Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может иметь «успех» либо «неудача». Вероятность «успеха» события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность «неудачи» q=1−p) — Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число «успехов» события A в этих испытаниях.
Необходимо найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие A в n испытаниях может либо иметь «успех», либо «неудачу» 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: x1=0,x2=1,…,xn+1=n. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли: Pn(k)=Cknpkqn−k (1).
Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0,1,2,…,n в соответствии с распределением, заданным формулой (1).
Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями P{X=i}=P(i,λ)=λii!e−λ, где λ>0=np — параметр распределения Пуассона.
Распределение Пуассона также называют законом редких событий, поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность «успеха» события A равна p и, следовательно, вероятность его «неудачи» q = 1 — p. Испытания заканчиваются, как только появится «успех» события A. Таким образом, если «успех» события A появился в k\text{-м} испытании, то в предшествующих k — 1 испытаниях оно не появлялось.
Обозначим через X дискретную случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события A. Очевидно, возможными значениями X являются натуральные числа: x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, \ldots.
Пусть в первых k - 1 испытаниях событие A имело «неудачу», а в k\text{-м} испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий, P(X = k) = p q^{k-1}
Полагая k = 1, 2, \ldots в предыдущей формуле, получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q p, pq, pq^2, pq^3, \ldots pq^{k-1}, \ldots
Дискретные случайные величины | Проверка знаний: случайные величины |