Пусть производится %%n%% независимых испытаний, в каждом из которых событие %%A%% может иметь «успех» либо «неудача». Вероятность «успеха» события во всех испытаниях постоянна и равна %%p%% (следовательно, вероятность «неудачи» %%q = 1 - p%%) — Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины %%X%% число «успехов» события %%A%% в этих испытаниях.
Необходимо найти закон распределения величины %%X%%. Для ее решения требуется определить возможные значения %%X%% и их вероятности. Очевидно, событие %%A%% в %%n%% испытаниях может либо иметь «успех», либо «неудачу» %%1%% раз, либо %%2%% раза, %%\ldots%%, либо %%n%% раз. Таким образом, возможные значения %%X%% таковы: %%x_1 = 0, x_2 = 1, \ldots, x_{n+1} = n%%. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли: $$ P_n(k) = C_n^kp^k q^{n-k}~~~~~~~(1). $$
Дискретная случайная величина %%X%% распределена по биномиальному закону, если она принимает значения %%0, 1, 2,\ldots ,n%% в соответствии с распределением, заданным формулой %%(1)%%.
Дискретная случайная величина %%X%% распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями $$ P\{X = i\} = P(i,\lambda) = \frac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}, $$ где %%\lambda > 0 = np%% — параметр распределения Пуассона.
Распределение Пуассона также называют законом редких событий, поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.
Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность «успеха» события %%A%% равна %%p%% и, следовательно, вероятность его «неудачи» %%q = 1 — p%%. Испытания заканчиваются, как только появится «успех» события %%A%%. Таким образом, если «успех» события %%A%% появился в %%k\text{-м}%% испытании, то в предшествующих %%k — 1%% испытаниях оно не появлялось.
Обозначим через %%X%% дискретную случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события %%A%%. Очевидно, возможными значениями %%X%% являются натуральные числа: %%x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, \ldots%%.
Пусть в первых %%k - 1%% испытаниях событие %%A%% имело «неудачу», а в %%k\text{-м}%% испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий, $$ P(X = k) = p q^{k-1} $$
Полагая %%k = 1, 2, \ldots%% в предыдущей формуле, получим геометрическую прогрессию с первым членом %%p%% и знаменателем %%q%% $$ p, pq, pq^2, pq^3, \ldots pq^{k-1}, \ldots $$
| Дискретные случайные величины | Проверка знаний: случайные величины |