Дискретные случайные величины

Определение

Случайную величину $X$ называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно, т.е. его элементы можно расположить в определенном порядке и пронумеровать.

Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения.

Определение

• Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины $X$ называют таблицу (см. Таблица 1) состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней — вероятности $p_i = P\{X = x_i\}$ того, что случайная величина примет эти значения.

• $X$	$x_1$	$x_2$	$\ldots$	$x_n$
  $P$	$p_1$	$p_2$	$\ldots$	$p_n$

  Таблица 1. Ряд распределения

Для проверки правильности составления табл. 1 рекомендуется просуммировать вероятности $p_i$. Эта сумма должна быть равна единице: $$\sum_{i=1}^n p_i = 1$$

Пример

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в $50$ руб. и десять выигрышей по $1$ руб. Найти закон распределения случайной величины $X$ — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение

Напишем возможные значения $X: x_1 = 50, x_2 = 1, x_3 = 0$. Вероятности этих возможных значений таковы: $p_1 = 0.01, p_2 = 0.1, p_3=0.89$. Напишем искомый закон

Проверим правильность заполнения таблицы: сумма вероятностей должна быть равна $1$. $$0.01 + 0.1 + 0.89 = 1$$

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки $(x_i, p_i)$, а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее функцию распределения $F(x)$. Пусть $X$ — дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ расположены в порядке возрастания. Тогда для всех $x < x_1$ событие $\{X < x\}$ является невозможным и поэтому в соответствии с определением функции распределения $F(x) = 0$. Если $x_1 < x_2$, то событие $\{X < x\}$ состоит из тех и только тех элементарных исходов $\omega$, для которых $X(\omega) = x_1$, и, следовательно, $$F(X) = p_1.$$

Аналогично при $x_2 < x < x_3$ событие $\{X < x\}$ состоит из элементарных исходов $\omega$, для которых либо $X(\omega) = x_1$, либо $X(\omega) = x_2$, т.е. $$\{X < x\} = \{X = x_1\} + \{X = x_2\},$$ а, следовательно, $$F(X) = p_1 + p_2.$$

Наконец, при $x > x_n$ событие {X < x} достоверно и $$F(X) = 1.$$

Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке $(\infty, x_1]$ значение $0$, на промежутках $(x_i,x_{i+i}], 1 \leq i < n$, — значение $p_1 + \ldots + p_i$ и на промежутке $(x_n, +\infty)$ — значение $1$.