Дискретные случайные величины

Определение

Случайную величину %%X%% называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно, т.е. его элементы можно расположить в определенном порядке и пронумеровать.

Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения.

Определение

• Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины %%X%% называют таблицу (см. Таблица 1) состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней — вероятности %%p_i = P\{X = x_i\}%% того, что случайная величина примет эти значения.

• %%X%%	%%x_1%%	%%x_2%%	%%\ldots%%	%%x_n%%
  %%P%%	%%p_1%%	%%p_2%%	%%\ldots%%	%%p_n%%

  Таблица 1. Ряд распределения

Для проверки правильности составления табл. 1 рекомендуется просуммировать вероятности %%p_i%%. Эта сумма должна быть равна единице: $$ \sum_{i=1}^n p_i = 1 $$

Пример

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в %%50%% руб. и десять выигрышей по %%1%% руб. Найти закон распределения случайной величины %%X%% — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение

Напишем возможные значения %%X: x_1 = 50, x_2 = 1, x_3 = 0%%. Вероятности этих возможных значений таковы: %%p_1 = 0.01, p_2 = 0.1, p_3=0.89%%. Напишем искомый закон

%%X%%	%%50%%	%%1%%	%%0%%
%%P%%	%%0.01%%	%%0.1%%	%%0.89%%

Проверим правильность заполнения таблицы: сумма вероятностей должна быть равна %%1%%. $$ 0.01 + 0.1 + 0.89 = 1 $$

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки %%(x_i, p_i)%%, а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее функцию распределения %%F(x)%%. Пусть %%X%% — дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения %%x_1, x_2, \ldots, x_n%% расположены в порядке возрастания. Тогда для всех %%x < x_1%% событие %%\{X < x\}%% является невозможным и поэтому в соответствии с определением функции распределения %%F(x) = 0%%. Если %%x_1 < x_2%%, то событие %%\{X < x\}%% состоит из тех и только тех элементарных исходов %%\omega%%, для которых %%X(\omega) = x_1%%, и, следовательно, $$ F(X) = p_1. $$

Аналогично при %%x_2 < x < x_3%% событие %%\{X < x\}%% состоит из элементарных исходов %%\omega%%, для которых либо %%X(\omega) = x_1%%, либо %%X(\omega) = x_2%%, т.е. $$ \{X < x\} = \{X = x_1\} + \{X = x_2\}, $$ а, следовательно, $$ F(X) = p_1 + p_2. $$

Наконец, при %%x > x_n%% событие {X < x} достоверно и $$ F(X) = 1. $$

Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке %%(\infty, x_1]%% значение %%0%%, на промежутках %%(x_i,x_{i+i}], 1 \leq i < n%%, — значение %%p_1 + \ldots + p_i%% и на промежутке %%(x_n, +\infty)%% — значение %%1%%.