Непрерывные случайные величины

Определение

Непрерывной называют случайную величину $X$ функцию распределения которой $F(x)$ можно представить в виде: $$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} p(y) dy.$$

Функцию $p(x)$ называют плотностью распределения вероятностей случайной величины $X$. Предполагают, что несобственный интеграл закона распределения сходится.

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Теорема

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. $0 \leq p(x) \leq 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, принадлежащее интервалу $(x_1, x_2)$ будет равна $$P\{x_1 < X < x_2\} = \int\limits_{x_1}^{x_2} p(x) dx$$
3. Вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение равна $1$, т.е. вероятность достоверного события равна: $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} p(x) dx = 1.$$