Непрерывные случайные величины

Определение

Непрерывной называют случайную величину %%X%% функцию распределения которой %%F(x)%% можно представить в виде: $$ F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} p(y) dy. $$

Функцию %%p(x)%% называют плотностью распределения вероятностей случайной величины %%X%%. Предполагают, что несобственный интеграл закона распределения сходится.

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Теорема

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. %%0 \leq p(x) \leq 1%%.
2. Вероятность того, что случайная величина %%X%% примет значение, принадлежащее интервалу %%(x_1, x_2)%% будет равна $$ P\{x_1 < X < x_2\} = \int\limits_{x_1}^{x_2} p(x) dx $$
3. Вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение равна %%1%%, т.е. вероятность достоверного события равна: $$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} p(x) dx = 1. $$